Re：Exgcd解二元不定方程
模拟又炸了，我死亡
$exgcd$（扩展欧几里德算法）用于求$ax+by=gcd(a,b)$中$x,y$的一组解，
它有很多应用，比如解二元不定方程、求逆元等等，
这里详细讲解一下$exgcd$的原理。
了解$exgcd$算法前，需要$gcd$算法做铺垫。gcd，又称辗转相除法，用于计算两个整数 $a,b$ 的最大公约数。
$gcd$函数的基本性质：
$gcd(a,b)=gcd(b,a) $
$gcd(a,b)=gcd(-a,b) $
$gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)$
$gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$
证明一下第四条：
设$k$为整数
设$gcd(a,b) = d$
$a$ $mod$ $b=a-kb$，$k = a/b$
因为$a$ $mod$ $d=0,b$ $mod$ $d=0$
所以$kb$ $mod$ $d=0$,
$a-kb$ $mod$ $d=0$
即$(a$ $mod$ $b)$ $mod$ $d=0$
int gcd(int a,int b){
if(b == 0){
return a;
}
return gcd(b,a%b);
}
理解了$gcd$，再来证明为什么$exgcd$可以求出$ax+by=gcd(a,b)$的$x,y$。
当$b=0$时，$gcd(a,b) = a$，$ax+by$ 即 $a*1 + 0*0 = gcd(a,b)$；
$x=1,y=0$（因为$b = 0$，$y$的值其实不重要，这里就写成$0$）
因为$gcd(a,b) = ax+by$，$gcd(b,a$ $mod$ $b) = ax'+ by'$，
每次递归时，$gcd(a,b) = gcd(b,a$ $mod$ $b)$，所以$ax+by = ax'+ by'$，
并且已知 $a%b = a-(a/b)*b$，那么可以得到
$ax'+ by'$
$= bx + (a$ $mod$ $b)y $
$= bx + (a-a/b*b)y $
$= bx + ay - (a/b)*by $
$= ay + b(x-(a/b)*y) $
$x'=y$； $y'=x-(a/b)*y $
int exgcd(int a,int b,int &x, int &y) {
if(b == 0) {
x=1,y=0;
return a;
}
int ans = exgcd(b,a%b,x,y);
int tx = x;
x = y;
y = tx-a/b*y;
return ans;
}
明白了$exgcd$的原理，思考它如何求解形如$ax+by=c$的不定方程。
设$k$为整数，
设$c=k*gcd(a,b)$
$ax+by=gcd(a,b)$，
两边同乘$k$，得
$k*ax+k*by=k*gcd(a,b)=c$
所以$c$一定为$gcd(a,b)$的倍数。若$c$ $mod$ $gcd(a,b) ≠ 0$，则方程无整数解。
此时的$x'=kx=c/gcd(a.b)*x$。
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<cstring> #define MogeKo qwq using namespace std; int n,x,sum; int gcd(int a,int b) { if(!b) return a; return gcd(b,a%b); } int main() { scanf("%d",&n); sum = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d",&x); if(x < 0) x = -x; sum = gcd(sum,x); } printf("%d",sum); return 0; }
那么，怎么保证x是最小正整数呢？
设$k$为整数，
$ax+by$
$= ax + by + k*ab - k*ab$
$= a(x+kb) + b(y-ka)$
也就是说，当$x$改变$b$的整数倍时，原式的值可以保持不变；
那么最小正整数即为$x$ $mod$ $b$；
但是要考虑$x$为负数的情况，就要先将$x$加上$b$，直到$x$为正数，再取模，可以得到$x = (x$ $mod$ $b+b)$ $mod$ $b$
综上所述，
$x=(x*c/gcd(a,b)$ $mod$ $b+b)$ $mod$ $b$
int exgcd(int a,int b,int &x, int &y) {
if(b == 0) {
x=1,y=0;
return a;
}
int ans = exgcd(b,a%b,x,y);
int tx = x;
x = y;
y = tx-a/b*y;
return ans;
}
int main() {
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(a<0) {
a = -a;
c = -c;
}
exgcd(a,b,x,y);
if(c%ans!=0)
printf("Impossible");
else
printf("%d",(x*(c/ans))%(b/ans)+(b/ans))%(b/ans));
return 0;
}
设跳了$X$次，
由题意得，$m*X+x=n*X+y$ $(mod$ $l)$
$(m-n)*X=y-x$ $(mod$ $l)$
$(m-n)*X-l*Y=y-x$
令$m-n=a$,$l=b$,$y-x=c$,$Y=-Y$
则有$aX+bY=c$
注意负数的情况：若$m-n<0$，则变成了前面的追后面的
$a=n-m$,$c=(x+l-y)$ $mod$ $l=x-y$
即$a=-a,c=-c$
#include<cstdio> #define int long long int x,y,m,n,l,a,b,c,x0,y0,g,tmp; int exgcd(int a,int b,int &x, int &y) { if(b == 0) { x=1,y=0; return a; } int ans = exgcd(b,a%b,x,y); int tx = x; x = y; y = tx-a/b*y; return ans; } main() { scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l); a=n-m; b=l; c=x-y; if(a<0) a=-a,c=-c; int g = exgcd(a,b,x0,y0); if(c%g!=0) printf("Impossible"); else printf("%lld",(c/g*x0%(b/g)+b/g)%(b/g)); }
