[数论]中国剩余定理

今天模拟惨啊...被数论水题虐炸了...+红名祭

定理

若有 𝑝₁, 𝑝₂ … 𝑝_𝑛 互质，则对于同余方程组：

𝑥 ≡ 𝑎₁ 𝑚𝑜𝑑 𝑝₁

　　…

𝑥 ≡ 𝑎_𝑛 𝑚𝑜𝑑 𝑝_𝑛

在模 𝐿𝐶𝑀 = 𝑝₁ ∗ ⋯ ∗ 𝑝_𝑛 的意义下x有唯一解

证明

唯一性：若有两组解 𝑥₁, 𝑥₂ 则 𝑥₁ − 𝑥₂ 一定是 0

存在性：构造方法证明，设 

𝑀₁  = 𝑝₂ ∗ ⋯ 𝑝_𝑛

𝑖𝑛𝑣₁ = 𝑀₁⁻¹ 𝑚𝑜𝑑 𝑝₁

𝑥₁ = 𝑎₁ ∗ 𝑀₁ ∗ 𝑖𝑛𝑣₁ 

可以发现 𝑥₁ 满足𝑥₁ ≡ 𝑎₁ 𝑚𝑜𝑑 𝑝₁，且对所有 𝑝₂, … , 𝑝_𝑛 取模为0。那么 𝑥₁ + 𝑥₂ + ⋯ + 𝑥_𝑛 就是解。

exgcd用于求逆元

代码如下

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tp = x;
    x = y;
    y = tp-a/b*y;
}

int chi() {
    int ans=0,lcm=1,x,y;
    for(int i=1; i<=k; i++)
        lcm *= b[i];
    for(int i=1; i<=k; i++) {
        int tp = lcm/b[i];
        exgcd(tp,b[i],x,y);
        x = (x%b[i]+b[i])%b[i];  //x要为最小非负整数解
        ans = (ans+tp*x*a[i])%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}