随笔分类 - 数论
摘要：组合数可以表示为 Cmn=n!m!(n−m)! 假设n!,m!,(n−m)!含因子2的个数分别为A,B,C 则当A=B+C时，Cmn为奇数 那么如何求出n!的因子个数呢？ 对于一个质数p， 它的倍数kpi含因子p的个数为
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摘要：gate BSGS(Baby Steps Giant Steps) 对于 a^x\equiv b\pmod{p} ，求x_ 由于模的剩余类会产生循环节，根据鸽巢原理， a0, a1, \ldots, a^模p（p为质数）意义下的剩余类与$an, a{n+1},
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摘要：gate 计算第K个不含完全平方因子的数。 利用容斥原理，计算时，需要减去22,32,52...，加上62,102,152...，减去30^2... 即， ans(n) =n\ -\ 含1个质因子平方的数 + 含2个质因子平方的数 - 含3个质因子平方
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摘要：gate \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m} lcm(i,j) = \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{i\cdot j}{gcd(i,j)} \(= \
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摘要：gate 设\sigma(i)表示i的因子之和。 \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j))\ [\sigma(gcd(i,j))\le a] \(\sum\limits_{k=1}^n\sigma(k)\sum\li
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摘要：gate 一个植物 (x,y) 与(0,0)上的连线共有 gcd(x,y)个点，再减去两个端点， 能量损失即为2\times(gcd(x,y)-2)+1 = 2\times gcd(x,y)+1 所以题目要求的即： \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits
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摘要：gate \large \sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=x] \(=\large \sum\limits_{i=1}^{\frac{a}{x}}\sum\limits_{j=1}^{\frac{b}{x}}[gcd(i,
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摘要：gate \sum\limits_{i=1}^{n}lcm(i,n) =\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{i\times n}{gcd(i,n)} \(=n\times\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{i}
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摘要：gate \sum\limits_{i=1}^{n}gcd(i,n) =\sum\limits_{d=1}^{n}d \sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=d] \(=\sum\limits_{d=1}^{n}d \sum\limits_{i=1}^{\fra
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摘要：gate ans = \sum\limits_ k \bmod i \ = \sum\limits_ k - \lfloor \frac \rfloor * i \ = n*k-\sum\limits_^\lfloor \frac \rfloor * i i \le \sqrt k时，
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摘要：杜教筛用来解决积性函数求前缀和的问题。 复杂度为O(n^\frac{2}{3}) 适用情况： 已知函数f，求\sum f， 存在f*g=F，且g,\sum g,F,\sum F容易求出。 常用公式： \mu*I=[n=1] \varphi*I=id 以求$\sum
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摘要：原文：2018-12-18 欧拉函数是小于n的整数中与n互质的数的个数，一般用\varphi(n)表示。 通式： \varphi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k}) 其中$p_1, p_2……p
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摘要：素数定理 \pi(x) 来表示小于一个正实数x的素数个数 \pi(x) = \frac{x}{ln(x)} (x\rightarrow \infty) 唯一分解定理（算数基本定理） 任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 \(n=p_1^{a_1}p_2^
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摘要："gate" 求： \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m gcd(i,j) 设gcd(i,j) = k，枚举k $$\sum\limits_{k=1}^n k \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m [gc
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摘要："gate" 一年多前做的题，没想到当时还是会莫反的，果然现在越来越菜了 求： \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)\in prime] 设gcd(i,j)=k,n m（否则swap） $$\sum\limits_{k=1}^n\
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摘要：随便整理下，其实我也不是很懂 ##整除分块 \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \leq \frac{n}{i} \implies i \leq \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor 即$\lfloor
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摘要：gate ##费马小定理： 当a,p\in \mathbb Z且p为质数，a\not=0 \pmod p 时有： a^{p−1}\equiv1 \pmod p 所以 a^b \equiv a^{b\mod{p-1}} \pmod p ##欧拉定理： 当 \(a,m\i
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摘要：震惊！某OIer竟使用O(n^2)筛法长达1年！ 原来筛欧拉函数是和筛素数差不多的，一个埃氏筛法，一个线性筛... 要实现线性筛，必须先明确欧拉函数的以下性质： 设p为素数，则有 \varphi(p) = p 1 $如果i与p互质, 那么 \varphi(i p) = \varphi(i
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摘要：gate 当一个数列满足，但它的1,2项不是1,1时， 称它为类斐波那契数列。 它满足以下性质： 若有： 1.设，则 2. 证明： 设，则 3.前缀和公式： 证明： 通过以上性质，发现它可以用线段树维护。 对于每个节点，sum表示区间和； c1,c2表示这段区间被加上了前两项分别为$c1
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摘要：gate 矩阵乘法加速模板qwq 感觉比之前写的好看了点 代码如下 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<cstring> #define MogeKo qwq #define int long long using
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