2021 年 3月随笔档案 - mod998244353

整除分块

摘要：整除分块是莫比乌斯反演的常见优化之一整除分块从一维入手：求

\sum\limits_^n\lfloor\frac\rfloor\pmod{1000003}

$\sum\limits_^n\lfloor\frac\rfloor\pmod{1000003}$ 我们发现

⌊ \fraci ⌋

$⌊\fraci⌋$ 有以下性质：

⌊ \fraci ⌋

$⌊\fraci⌋$ 最多只有

2\sqrt

$2\sqrt$ 种取值证明：对于$i≤\sqrt

, 只 有

$, 只有$ 阅读全文

posted @ 2021-03-11 13:03 mod998244353 阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

杜教筛

摘要：前置知识：莫比乌斯反演杜教筛杜教筛可以在非线性时间内求积性函数前缀和。 P4213 【模板】杜教筛（Sum）我们假设要求前缀和的积性函数为

f (n)

$f(n)$ ，设前缀和

S (n) = \sum_{i = 1}^{n} f (i)

$S(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)$ 。我们找一个合适的函数

g (n)

$g(n)$ ，我们看看

f, g

$f,g$ 两个函数的狄利克雷阅读全文

posted @ 2021-03-11 12:59 mod998244353 阅读(170) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演

摘要：以下内容中，

a | b

$a|b$ 表示

a

$a$ 是

b

$b$ 的因数，

a ⧸ | b

$a\not|b$ 表示

a

$a$ 不是

b

$b$ 的因数前置知识：积性函数相关整除分块狄利克雷卷积定义：任意函数

f(n),g(n)\(的狄利克雷卷积为\)(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac)

$f(n),g(n)$的狄利克雷卷积为$(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac)$ 其中$\sum\l 阅读全文

posted @ 2021-03-11 12:58 mod998244353 阅读(183) 评论(0) 推荐(0) 编辑

积性函数相关

摘要：以下内容中，

a | b

$a|b$ 表示

a

$a$ 是

b

$b$ 的因数，

a ⧸ | b

$a\not|b$ 表示

a

$a$ 不是

b

$b$ 的因数前置知识：特别基础的数论积性函数这部分设

n

$n$ 质因数分解后为

\prod_{i = 1} k p_{i} c_{i}

$\prod\limits_{i=1}kp_i{c_i}$ 一些数论函数：莫比乌斯函数：\(\mu(n)=\begin{cases}1\qq 阅读全文

posted @ 2021-03-11 12:50 mod998244353 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

博客索引

摘要：游记部分： NOI2021同步赛游记 CSP2021 J/S复赛游记 NOIP2021游记数论部分：不了解

\sum

$\sum$ 的可以去看这个。特别基础的数论简单地讲了下线性筛素数和分解质因数逆元与（扩展）欧拉定理包括了线性筛逆元和一些求逆元的方法。同余基础数论详解包括扩展欧几里得、（扩展）中国阅读全文

posted @ 2021-03-11 12:40 mod998244353 阅读(99) 评论(0) 推荐(0) 编辑

同余基础数论详解

摘要：本文主要讲了扩展欧几里得、（扩展）中国剩余定理。扩展欧几里得小结论1：当

x, y

$x,y$ 为整数时，

a x + b y

$ax+by$ 最小正整数值为

gcd (a, b)

$\gcd(a,b)$ 。我们设

a x + b y

$ax+by$ 最小值为

s

$s$ ,对应不定方程的解为

x_{0}, y_{0}

$x_0,y_0$ 。可以发现

gcd (a, b) | a x_{0}, gcd (a, b) | b y_{0}

$\gcd(a,b)|ax_0,\gcd(a,b)|by_0$ 那阅读全文

posted @ 2021-03-11 12:32 mod998244353 阅读(580) 评论(0) 推荐(0) 编辑

米勒来宾素数测试与Pollard rho算法

摘要：米勒来宾素数测试此处只考虑如何判断奇素数根据费马小定理：当

p

$p$ 为（奇）素数，

gcd (a, p) = 1

$\gcd(a,p)=1$ 时，

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ 就可以写一个用快速幂判断一个数是不是奇素数 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; 阅读全文

posted @ 2021-03-10 18:00 mod998244353 阅读(162) 评论(0) 推荐(0) 编辑

逆元与（扩展）欧拉定理

摘要：本文主要讲了逆元、（扩展）欧拉定理。快速模幂 P1226 【模板】快速幂||取余运算假设

p

$p$ 为奇数，则

b p = b 2 ⌊ \frac{2}{⌋} + 1 = (b 2) ⌊ \frac{2}{⌋} \times b

$bp=b{2\lfloor\frac{2}\rfloor+1}=(b2){\lfloor\frac{2}\rfloor}\times b$ ，否则$bp=b{2\lfloor\frac{2}\ 阅读全文

posted @ 2021-03-10 17:57 mod998244353 阅读(499) 评论(0) 推荐(0) 编辑

特别基础的数论

摘要：本文主要讲了线性筛素数、分解质因数算法。线性筛素数 P3383 【模板】线性筛素数这里只讲欧拉筛算法思路：若是枚举到一个数

x

$x$ ，如果它没被标记成合数，那么加入素数数组，同时再用一个循环把所有小于x最小质因子的质数乘以x的数标记成合数。这样是有线性复杂度的。既然是线性的正确算法，那应该能保证阅读全文

posted @ 2021-03-10 17:50 mod998244353 阅读(60) 评论(0) 推荐(2) 编辑

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