特别基础的数论

本文主要讲了线性筛素数、分解质因数算法。

线性筛素数

P3383 【模板】线性筛素数

这里只讲欧拉筛

算法思路：若是枚举到一个数$x$，如果它没被标记成合数，那么加入素数数组，同时再用一个循环把所有小于x最小质因子的质数乘以x的数标记成合数。这样是有线性复杂度的。

既然是线性的正确算法，那应该能保证没漏筛、没重复筛。

证明：

设合数 ${x}$ 有两个质因子 ${a,b(a<b)}$

则 $s$ 可以表示成 $s=a\times\dfrac{s}{a}=b\times\dfrac{s}{b}$

可以得到 $\dfrac{s}{b}<\dfrac{s}{a}<s$。

那么我们就可以用 $s$ 最小的质因子来筛掉 $s$，就只会筛一次。

不妨设 $a$ 就是最小的质因子，那么 $\dfrac{s}{a}$ 的最小的质因子一定大于等于 $a$，那么欧拉筛就一定在枚举到 $\dfrac{s}{a}$ 能筛掉 $s$。

但是在枚举到 $\dfrac{s}{b}$ 时，因为它的最小的质因子一定大于 $a$，那么欧拉筛就不会筛到 $s$。

综上所述，$s$ 当且仅当枚举到 $\dfrac{s}{a}$ 时会被筛，所以就不会重复筛也不会漏筛。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e8+100;
bool isp[MAXN];
int prime[MAXN>>4],pcnt;
void init(int n) {
	for(int i=2; i<=n; ++i) {
		if(!isp[i])prime[++pcnt]=i;
		for(int j=1,x; j<=pcnt&&(x=prime[j]*i)<=n; ++j) {
			isp[prime[j]*i]=1;
			if(!(i%prime[j]))break;
		}
	}
}
int main() {
	int n,q;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	init(n);
	for(int i=1,x; i<=q; ++i) {
		scanf("%d",&x);
		printf("%d\n",prime[x]);
	}
	return 0;
}

分解质因数

这个可以做到$O(\sqrt{n})$将$n$分解

可以发现，大于$\sqrt{n}$的质因数最多有一个，且指数一定为$1$。

不然它们乘起来就大过$n$了，所以我们可以只枚举$\leq n$的质因数。

先放代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=40;
int p[MAXN],c[MAXN],pcnt,n;
void work(int n) {
	for(int i=2; i*i<=n; ++i) {
		if(!(n%i)) {//枚举到一个质因数
			p[++pcnt]=i;//存下
			while(!(n%i)) {//计算指数
				n/=i;
				++c[pcnt];
			}
		}//由于比这个因子更小的质因子都被除掉了
      //所以这个因数一定是质因数
	}
	if(n>1) {//有大于根号n的质因数
		p[++pcnt]=n;//存下
		c[pcnt]=1;
	}
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	work(n);
	for(int i=1; i<=pcnt; ++i) {
		printf("%d %d\n",p[i],c[i]);
	}
	return 0;
}