超氧化钾

一月24日

• Description

作为一个化学小考只有77分的同学，小W感觉很有压力，所以他决定搞化学。今天他开始研究超氧化钾，这是一种很神奇的离子化合物，在高温下空间结构是立方体，如下图所示。有一天教黄交给了小W一个任务：根据教黄多年淘金的经验，他发现超氧化钾有一个神奇的性质就是如果一组有序的整数 \((x,y,z)\) 满足

\[z=x\mod1 + x \mod 2 + … + x \mod y \]

那么对于超氧化钾来说这个位置上的离子就是一个关键离子。通过用回旋加速器得到高速粒子来攻击这个离子，他就可以获得铜铝制金法的催化剂。现在教黄想知道对于一个给定的 \(x\) 和 \(y\) 对应的 \(z\) 值是多少。

• Input

两个整数x,y。

• Output

一个整数z。

• Sample Input

1 1

• Sample Output

0

• Data Constraint

40%的数据，y<=10^5。

100%的数据，1<=x,y<=10^9。

• Solution

1. 比赛时只看了一眼题目然后就闭眼打暴力。然后30分。。。

#include<cstdio>
using namespace std;

long long x,y,z;

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&x,&y);
	for(long long i=1;i<=y;i++)
	{
		z+=x%i;
	}
	printf("%lld",z);
	return 0;
}

2. 正解又是找规律。

   找个大数据，看看每个模后的数是多少

   首先我们看一下

   30 35

   0 0 0 2 0 0 2 6 3 0 8 6 4 2 0 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 30 30 30 30 30

   首先我们知道如果\(y>x\),那么\(y-x\)这一部分就全是\(x\)，然后看到：

   \(\dfrac{x}{2}+1 \thicksim x\)是一个公差为1的等差数列；

   \(\dfrac{x}{3}+1 \thicksim \dfrac{x}{2}\)是一个公差为2的等差数列；

   \(\dfrac{x}{4}+1 \thicksim \dfrac{x}{3}\)是一个公差为3的等差数列；

   \(\cdots\)

   \(\dfrac{x}{p}+1 \thicksim \dfrac{x}{p-1}\)是一个公差为\(p-1\)的等差数列。

   调了50分钟后，终于A了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long x,y,z;
long long p,n,first,last;
long long yy;

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&x,&y);
	if(x<y) z+=(y-x)*x;
	p=2;
	while(1)
	{
		if(x/(p-1)<=100000)  
    	{
    		yy=min(x/(p-1),y);
    		break;
    	}
		first=x/p+1;
		last=min(x/(p-1),y);
		n=last-first+1;
		first=x%first;
		last=x%last;
		p++;
		if(n<=0) continue;
		z+=(first+last)*n/2;
	}
	for(long long i=1;i<=yy;i++)
		z+=x%i;
	printf("%lld\n",z);
	return 0;
}

• 考点

1. 不要闭眼打暴力
2. 找规律
3. 睁眼打暴力