2019上海网络赛 F. Rhyme scheme 普通dp
Rhyme scheme
Problem Describe
A rhyme scheme is the pattern of rhymes at the end of each line of a poem or song. It is usually referred to by using letters to indicate which lines rhyme; lines designated with the same letter all rhyme with each other.
e.g., the following "poem'' of 4 lines has an associated rhyme scheme "ABBA''
1 —— 99 bugs in the code A
2 —— Fix one line B
3 —— Should be fine B
4 —— 100 bugs in the code A
This essentially means that line 1 and 4 rhyme together and line 2 and 3 rhyme together.
The number of different possible rhyme schemes for an nnn-line poem is given by the Bell numbers. For example, \(B_3 = 5\), it means there are five rhyme schemes for a three-line poem: AAA, AAB, ABA, ABB, and ABC.
The question is to output the \(k\)-th rhyme scheme in alphabetical order for a poem of nnn lines.For example: the first rhyme scheme of a three-line poem is "AAA'', the fourth rhyme scheme of a three-line poem is ABB''.
InputFile
The first line of the input gives the number of test cases, T(\(1 \leq T \leq 10000\)). T test cases follow.
Each test case contains a line with two integers nnn and \(k\).
\(1 \leq n \leq 26, 1 \leq k \leq B_n\) (\(B_n\) is the \(n\)-th of Bell numbers)
OutputFile
For each test case, output one line containing Case #x: y, where x is the test case number (starting from 1) and y is the rhyme scheme contains uppercase letters.
样例输入
7
1 1
2 1
3 1
3 2
3 3
3 4
3 5
样例输出
Case #1: A
Case #2: AA
Case #3: AAA
Case #4: AAB
Case #5: ABA
Case #6: ABB
Case #7: ABC
题意
就是求第k个排列，但是有些排列是重复的，比如AAB和AAC算一种（如果不能理解可以看看题目）
题解
这里其实都是瞎扯
我一开始想的就是求当\(n=26\)时总共有多少种不同的排列。然后想了个dp，然后想用递归，每次确定第一位选什么，然后再做后面的。但是我的两个队友听到我的想法都说不懂，然后看别的题了，然后我就一个人想啊想，一路上遇到了许多问题，还好最后还是解决了。
首先我们需要发现一些性质：
- 长度为n的字符串，只会用n种字母，这个性质很明显也很重要。
- 每个字符串的种类会因为前面的不同而变化，比如aaa后面接两种字母a、b，而aab后面可以接a、b、c.
- 我们只要前面字符串用过的种类数以及后面字符串的长度，后面字符串的种类也就确定了
- 有人可能会觉得要是前面字符串用a、b、c和用a、b、d都是三种但是不一样，但是a、b、d是不会出现的（可以结合第一点想想）
以上的性质可不是那么容易就能明白的，所以请结合具体例子仔细想想。
题解正式开始
先说说dp的预处理吧:
- \(\Large 定义：\) \(dp[n][m] [h]\)用m种字母组成长度为m的字符串，字符串前面接一个用了h种字母的字符串（不在乎前面的字符串的长度）。
- \(\Large 转移方程：\)\(dp[n][m][h]=dp[n][m-1][h]+dp[n][m][h]*m\)
- \(\Large初始化:\) \(dp[0][0][h]=h\)
然后定义\(f[n][h]\)为\(sum(dp[n][1..m][h])\)，之后开始从第一位开始枚举，字符从小到大的开始枚举。
我这里是用的的递归，void find(n,k,h) 即前面的字符串用了h种字符，求接下n个字母组成的字符串的第k个排列。
然后一层层做下去，直到\(n=0\) 结束
ps:会爆int64，于是我用了int128；还有就是我并没有讲的太清楚，只是讲了主要思想和具体实现，至于怎么想到的，那我也不清楚。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
template<typename T>void read(T&x)
{
ll k=0; char c=getchar();
x=0;
while(!isdigit(c)&&c!=EOF)k^=c=='-',c=getchar();
if (c==EOF)exit(0);
while(isdigit(c))x=x*10+c-'0',c=getchar();
x=k?-x:x;
}
void read_char(char &c)
{while(!isalpha(c=getchar())&&c!=EOF);}
__int128 f[28][28],dp[28][28][28],k;
ll n;
void init()//预处理部分
{
for(ll i=0;i<=26;i++)dp[0][i][i]=1;
for(ll h=0;h<=26;h++)
for(ll i=1;i<=26;i++)
for(ll j=1;j<=26;j++)
dp[i][j][h]=dp[i-1][j][h]*j+dp[i-1][j-1][h];
for(ll h=0;h<=26;h++)
for(ll i=0;i<=26;i++)
for(ll j=0;j<=26;j++)
f[i][h]+=dp[i][j][h];
}
void Find(ll n,__int128 k,ll h)//递归求解
{
if (n==0)return;
ll tp=(k-1)/f[n-1][h];
if (tp+1<=h)//格外注意h=0的时候
{
printf("%c",'A'+(int)(tp));
Find(n-1,k-tp*f[n-1][h],h);
}
else
{
printf("%c",'A'+(int)(h));
Find(n-1,k-h*f[n-1][h],h+1);
}
}
void work()
{
static int cas=0;
printf("Case #%d: ",++cas);
read(n); read(k);
ll p=0;
Find(n,k,p);
if (cas)printf("\n");
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("aa.in","r",stdin);
#endif
init();
int T;
read(T);
while(T--)work();
}
