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常微分方程基本解题思路 \[ \begin{cases} \mbox{一阶线性:} \quad y' + P(x) y =Q(x) \quad \mbox{(直接公式)}\\[4ex] \mbox{一阶非线性 (可从简到难依次尝试): } \begin{cases} \mbox{分离变量法} \ 阅读全文
posted @ 2015-05-31 21:11
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\section*{习题 9-1} 1. (4) 考虑参数 $x=r\cos \theta, y=r\sin \theta$, 注意到曲线只需由一个参数给出，所以需要建立起 $r$ 与 $\theta$ 的关系。代入 $L$ 的方程得到$ r^2 = a r\cos \theta$, 即 $r=a\ 阅读全文
posted @ 2015-05-07 22:19
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习题 8-2 2. (1) 曲线 1: $x=2y$, 过点 $(0,0)$ 以及 $(4,2)$, 曲线 2: $y^2=x$ 过点 $(0,0)$ 以及 $4,2$, 所以\[ \mbox{原式}= \int_0^4 dx \int_{\frac x 2}^{\sqrt x} f(x,y) dy 阅读全文
posted @ 2015-05-07 22:13
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习题 7-5 8. 三个元素，一个约束，所以有两个自由的变量，根据题意，$z=z(x,y)$ $x,y$: 自变量\begin{center}\begin{tikzpicture}[grow=right,scale=0.9]\node {$F$}child {node {$x y +yz$} chi 阅读全文
posted @ 2015-05-07 22:02
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1. \[\begin{aligned} \mbox{原式} =\int \frac{dx}{2\sin x \cos x +2\sin x} = \frac12 \int \frac{\sin x}{\sin^2 x (\cos x+1)} dx = -\frac12 \int \frac{1}{ 阅读全文
posted @ 2015-01-03 22:41
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一. 1. $(\ln 5 \cdot 5^x +e x^{e-1})dx$2. $e^{x+1}$; 考虑下列极限\[ f(x+1)= \lim_{t\to +\infty} \exp \frac{\ln\frac{t+x}{t-2} }{t} = \exp( \lim_{t\to +\infty 阅读全文
posted @ 2015-01-03 21:06
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一1. 5 (奇函数的导数是偶函数，练习册前面的结论)2. 13. $(f'(x) \arctan f(x) +\frac{f(x) f'(x)}{1+f^2(x)}) dx$4. $\frac{\pi}{8}$ (首先利用奇偶性，得到原式$=\frac14 \int_0^{\pi/2} (\sin 阅读全文
posted @ 2015-01-03 18:03
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一. 1. 2 2. $1+\frac{1}{e^2}$ 3. $y=\frac13 e x$ 4. $y=\frac \pi 4$ 二. 1. A 2. D 3. C 4. B 5. B三.1. 左极限\[ \lim_{x\to 0^-} \frac{-\sin x}{x}=-1,\]右极限\[ 阅读全文
posted @ 2015-01-03 16:37
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1. (1)\[ \mbox{原式}= \lim_{b\to +\infty} \int_1^b \frac{e^2}{e^{2x}+e^2}dx= \frac1e \lim_{b\ to+\infty} \arctan(e^x/e) \bigg|_{1}^b=\frac1e (\lim_{b\to... 阅读全文
posted @ 2015-01-03 11:45
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