BZOJ 4008 亚瑟王
Description
小K不慎被LL邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。
他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。作为一个非洲人，同时作为一个前OIer，小K自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。
玩家有一套卡牌，共\(n\)张。游戏时，玩家将\(n\)张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为\(1 \sim n\)。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。第\(i\)张卡牌的技能发动概率为\(p_{i}\)，如果成功发动，则会对敌方造成\(d_{i}\)点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑，\(p_{i}\)不会为\(0\)，也不会为\(1\)，即\(0<p_{i}<1\)。
一局游戏一共有\(r\)轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：
\(1\)如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则
\(1.1\) 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）；
否则（是最后一张），结束这一轮游戏。
\(2\)否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张
\(2.1\)将其以\(p_{i}\)的概率发动技能。
\(2.2\)如果技能发动，则对敌方造成\(d_{i}\)点伤害，并结束这一轮。
\(2.3\)如果这张卡牌已经是最后一张（即\(i\)等于\(n\)），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。
请帮助小K求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。
Input
输入文件的第一行包含一个整数\(T\)，代表测试数据组数。
接下来一共\(T\)组数据。
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数\(n\)和\(r\)，分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。接下来\(n\)行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第\(i\)行的两个数为\(p_{i}\)和\(d_{i}\)，分别代表第\(i\)张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动造成的伤害（整数）。保证\(p_{i}\)最多包含\(4\)位小数，且为一个合法的概率。
Output
对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过\(10^{-8}\)时——即\(\frac{\mid a-o \mid}{a} \le 10^{-8}\)时(其中\(a\)是标准答案，\(o\)是输出)，你的输出才会被判为正确。
建议输出\(10\)位小数。
Sample Input
1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1
Sample Output
3.2660250000
Hint
对于所有测试数据， \(1 \le T \le 444,1 \le n \le 220,0 \le r \le 132，0 < pi < 1，0 \le d_{i} \le 1000\)。
除非备注中有特殊说明，数据中\(p_{i}\)与\(d_{i}\)均为随机生成。
请注意可能存在的实数精度问题，并采取适当措施。
这题考试的时候状压dp都没有想到。
正解是一个更为神奇的dp，对于每张卡牌独立算贡献。如果第\(i\)张牌发动的概率为\(P_{i}\),那么$$ans = \sum_{i=1}^{n}P_{i}d_{i}$$
怎么求\(P_{i}\)？将\(r\)轮看做\(r\)次机会，\(f_{i,j}\)表示考虑完第\(i\)张卡牌，还剩\(j\)轮的概率。转移$$f_{i,j-1}=f_{i,j-1}+f_{i,j} \times (1-p_{i+1})^{j}$$$$f_{i+1,j-1} = f_{i+1,j-1}+f_{i,j} \times (1-(1-p_{i+1})^{j})$$
其中$$(1-(1-p_{i+1}){j})=p_{i+1}\sum_{k=0}(1-p_{i+1})^{k}$$
dp初始状态\(f_{0,r}=1\)。有了这个dp之后我们就可以算出\(P_{i}\)了$$P_{i}=\sum f_{i-1}{j+1} \times (1-(1-p_{i})^{j+1} $$
在转移的时候记录即可。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn (230)
int n,r,d[maxn]; double p[maxn],P[maxn],ans,f[maxn][maxn],ci[maxn][maxn];
inline void dp()
{
for (int i = 1;i <= n;++i)
{
ci[i][0] = 1;
for (int j = 1;j <= r;++j) ci[i][j] = ci[i][j-1]*(1-p[i]);
}
memset(f,0,sizeof(f)); memset(P,0,sizeof(P));
f[0][r] = 1;
for (int i = 0;i < n;++i)
for (int j = r;j >= r-i&&j >= 0;--j)
{
f[i+1][j] += f[i][j]*ci[i+1][j];
if (j)
{
double t = f[i][j]*(1-ci[i+1][j]);
f[i+1][j-1] += t; P[i+1] += t;
}
}
}
int main()
{
freopen("4008.in","r",stdin);
freopen("4008.out","w",stdout);
int T; scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d %d",&n,&r);
for (int i = 1;i <= n;++i) scanf("%lf %d",p+i,d+i);
dp(); ans = 0;
for (int i = 1;i <= n;++i) ans += P[i]*d[i];
printf("%.10lf\n",ans);
}
fclose(stdin); fclose(stdout);
return 0;
}
