BZOJ 3570 动物园

Description

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。
某天，园长给动物们讲解\(KMP\)算法。
园长：“对于一个字符串\(S\)，它的长度为\(L\)。我们可以在\(O(L)\)的时间内，求出一个名为\(next\)的数组。有谁预习了\(next\)数组的含义吗？”
熊猫：“对于字符串\(S\)的前\(i\)个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作\(next[i]\)。”
园长：“非常好！那你能举个例子吗？”
熊猫：“例S为abcababc，则\(next[5]=2\)。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出\(next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3\)。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在\(O(L)\)的时间内求出next数组。
下课前，园长提出了一个问题：“\(KMP\)算法只能求出\(next\)数组。我现在希望求出一个更强大\(num\)数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作\(num[i]\)。例如S为aaaaa，则\(num[4] = 2\)。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而\(aaa\)虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，\(num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2\)。”
最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出\(num\)数组呢？
特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出\(num[i]\)分别是多少，你只需要输出对\(1,000,000,007\)取模的结果即可。

Input

第1行仅包含一个正整数\(n\) ，表示测试数据的组数。随后\(n\)行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串\(S\)，\(S\)的定义详见题目描述。数据保证\(S\) 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

Output

包含\(n\) 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 \(1,000,000,007\) 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

Sample Input

3
aaaaa
ab
abcababc

Sample Output

36
1
32

HINT

\(n \le 5,L \le 1,000,000\)

这题让我明白了学好\(kmp\)的必要性。
首先暴力就是把暴跳\(next\)链，统计\(j(j沿着next链跳) \le \lfloor\frac{i}{2}\rfloor\)的数目(合法的‘既是后缀又是前缀’)。(这个是\(next\)数组的性质，我居然又没有发现，QAQ)

暴力代码(摘自：http://blog.csdn.net/willinglive/article/details/41722209)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
/************************************************
Code By willinglive    Blog:http://willinglive.cf
************************************************/
#define rep(i,l,r) for(int i=l,___t=(r);i<=___t;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r,___t=(l);i>=___t;i--)
#define MS(arr,x) memset(arr,x,sizeof(arr))
#define LL long long
#define INE(i,u,e) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
inline const int read()
{int r=0,k=1;char c=getchar();for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')k=-1;
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())r=r*10+c-'0';return k*r;}
/////////////////////////////////////////////////
int n;
char s[1000010];
int next[10000010];
/////////////////////////////////////////////////
void get_next()
{
	int i=0,j=-1;
	next[0]=-1;
	while(i<n)
	    if(j==-1||s[i]==s[j]) next[++i]=++j;
	    else j=next[j];
}
/////////////////////////////////////////////////
void input()
{
    scanf("%s",s);
    n=strlen(s);
}
void solve()
{
	LL ans=1;
    get_next();
    //rep(i,1,n) printf("%d ",next[i]);
    rep(i,1,n)
    {
    	int cnt=0;
    	for(int j=next[i];j>0;j=next[j])
    		if(j<=i/2) cnt++;
    	ans*=cnt+1;
    	ans%=1000000007L;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
/////////////////////////////////////////////////
int main()
{
    #ifndef _TEST
    freopen("std.in","r",stdin); freopen("std.out","w",stdout);
    #endif
    for(int T=read();T--;)
    input(),solve();
    return 0;
}

优化一下，考虑一下\(i\)单增，\(j\)沿着\(next\)链跳单减。因此，我们可以用\(cnt[i]\)表示从\(i\)开始\(j\)沿着\(next\)链跳的长度。题目所要求的\(num[i]\)即找到第一个\(k\)使得\(k \le \lfloor\frac{i}{2}\rfloor\)

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define maxn (1000010)
#define rhl (1000000007)
char s[maxn]; int next[maxn],num[maxn],n; ll ans;

inline void calc()
{
	next[0] = -1;
	for (int i = 0,j = -1,k = -1;i < n;)
	{
		while (j != -1&&s[i]!=s[j]) j = next[j];
		while (k != -1&&s[i]!=s[k]) k = next[k];
		++i; ++j; ++k;
		next[i] = j; num[i] = num[j] + 1;
		while (k > (i >> 1)) k = next[k];
		(ans *= (ll)num[k] + 1)%=rhl;
	}
}

int main()
{
	freopen("3670.in","r",stdin);
	freopen("3670.out","w",stdout);
	int T; scanf("%d\n",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%s",s); n = strlen(s);
		ans = 1; calc(); printf("%lld\n",ans);
	}
	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}