BZOJ 1019 汉诺塔

Description

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

 

对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

 

开始看这道题时，我一点感觉也没有。后来我也是看了题解才做出来的。

f[i][j]表示从i号杆子移动j个铁片到最优柱子的最少步数，g[i][j]表示从i号杆子移动j个铁皮的最优柱子的编号。

然后就是汉诺塔的经典转移了（以下为了方便叙述，i表示杆上的铁片个数，用x表示原杆，y=g[x][i-1]，z表示另外一根杆）；

从x移动i个铁片，最优方案是先把x上的i-1个铁片移动到y，再移动最后一个到z，最后再从y上将剩下的i-1个铁片移动回来。

但是由于本题的最优方案是按照优先级来的，所以我们要分类讨论一下。

1.若g[y][i-1]=z，我们就可以直接将y上的i-1个铁片移动到z上：f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]，g[x][i]=z。

2.若g[y][i-1]=x，我们就得将y上的i-1个铁片移动到x上，但是由于不能移动相同的盘子，所以只能将z上的一个移上y，然后再将x上的i-1个移动到y上来。

方程：f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]+1+f[xi-1],g[x][i]=y。

初始化：f[i][1]=1,g[i][1]=在i柱子上移动最优的那一个。

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

#define maxn 40
int n,g[4][maxn];
long long f[4][maxn];

int main()
{
    freopen("1019.in","r",stdin);
    freopen("1019.out","w",stdout);
    scanf("%d\n",&n);
    char opt[7][3]; int i,x,y,z;
    for (i = 1;i <= 6;++i) scanf("%s",opt[i]);
    for (i = 1;i <= 6;++i)
        if (!g[opt[i][0]-'A'+1][1])
            g[opt[i][0]-'A'+1][1] = opt[i][1]-'A'+1,f[opt[i][0]-'A'+1][1] = 1;
    for (i = 2;i <= n;++i)
        for (x = 1;x <= 3;++x)
        {
            y = g[x][i-1]; z = 6-x-y;
            f[x][i] += f[x][i-1] + 1;
            if (g[y][i-1] == z)
            {
                f[x][i] += f[y][i-1];
                g[x][i] = z;
            }
            else
            {
                f[x][i] += f[y][i-1]+1+f[x][i-1];
                g[x][i] = y;
            }
        }
    printf("%lld",f[1][n]);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}

 

参考BY：http://blog.sina.com.cn/s/blog_76f6777d0101b8l1.html