【教程】上下界网络流建模方法总结

前言

　　之前学习上下界网络流的时候，花了很多时间去理解建模的方式和原理，然而今天复习的时候发现忘得差不多了QwQ。于是参考了一下以前的代码，再次做了个总结，放在博客里，省得以后忘掉QwQ。

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无源汇可行流

　　建模方法：

　　首先建立一个源$ss$和一个汇$tt$，一般称为附加源和附加汇。

　　对于图中的每条弧$<u,v>$，假设它容量上界为$c$，下界$b$，那么把这条边拆为三条只有上界的弧。

　　一条为$<ss,v>$，容量为$b$；

　　一条为$<u,tt>$，容量为$b$；

　　一条为$<u,v>$，容量为$c-b$。

　　其中前两条弧一般称为附加弧。

　　然后对这张图跑最大流，以$ss$为源，以$tt$为汇，如果所有的附加弧都满流，则原图有可行流。

　　这时，每条非附加弧的流量加上它的容量下界，就是原图中这条弧应该有的流量。

　　理解方法：

　　对于原图中的每条弧，我们把$c-b$称为它的自由流量，意思就是只要它流满了下界，这些流多少都没问题。

　　既然如此，对于每条弧$<u,v>$，我们强制给$v$提供$b$单位的流量，并且强制从$u$那里拿走$b$单位的流量，这一步对应着两条附加弧。

　　如果这一系列强制操作能完成的话，也就是有一组可行流了。

　　注意：这张图的最大流只是对应着原图的一组可行流，而不是原图的最大或最小流。

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有源汇可行流

　　建模方法：

　　建立弧$<t,s>$，容量下界为$0$，上界为$\infty$。

　　然后对这个新图（实际上只是比原图多了一条边）按照无源汇可行流的方法建模，如果所有附加弧满流，则存在可行流。

　　求原图中每条边对应的实际流量的方法，同无源汇可行流，只是忽略掉弧$<t,s>$就好。

　　而且这时候弧$<t,s>$的流量就是原图的总流量。

　　理解方法：

　　有源汇相比无源汇的不同就在于，源和汇是不满足流量平衡的，那么连接$<t,s>$之后，源和汇也满足了流量平衡，就可以直接按照无源汇的方式建模。

　　注意：这张图的最大流只是对应着原图的一组可行流，而不是原图的最大或最小流。

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有源汇最大流

　　建模方法：

　　首先按照有源汇可行流的方法建模，如果不存在可行流，更别提什么最大流了。

　　如果存在可行流，那么在运行过有源汇可行流的图上（就是已经存在流量的那张图，流量不要清零），跑一遍从$s$到$t$的最大流（这里的$s$和$t$是原图的源和汇，不是附加源和附加汇），就是原图的最大流。

　　理解方法：

　　为什么要在那个已经有了流量的图上跑最大流？因为那张图保证了每条弧的容量下界，在这张图上跑最大流，实际上就是在容量下界全部满足的前提下尽量多得获得“自由流量”。

　　注意，在这张已经存在流量的图上，弧$<t,s>$也是存在流量的，千万不要忽略这条弧。因为它的相反弧$<s,t>$的流量为$<t,s>$的流量的相反数，且$<s,t>$的容量为0，所以这部分的流量也是会被算上的。

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有源汇最小流

　　有源汇最小流的常见建模方法比较多，我就只说我常用的一种。

　　建模方法：

　　首先按照有源汇可行流的方法建模，但是不要建立$<t,s>$这条弧。

　　然后在这个图上，跑从附加源$ss$到附加汇$tt$的最大流。

　　这时候再添加弧$<t,s>$，下界为$0$，上界为$\infty$。

　　在现在的这张图上，从$ss$到$tt$的最大流，就是原图的最小流。

　　理解方法：

　　我们前面提到过，有源汇可行流的流量只是对应一组可行流，并不是最大或者最小流。

　　并且在跑完有源汇可行流之后，弧$<t,s>$的流量就是原图的流量。

　　从这个角度入手，我们想让弧$<t,s>$的流量尽量小，就要尽量多的消耗掉那些“本来不需要经过$<t,s>$”的流量。

　　于是我们在添加$<t,s>$之前，跑一遍从$ss$到$tt$的最大流，就能尽量多的消耗那些流量啦QwQ。

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总结

　　口胡完毕。

　　我姿势水平不高，没见过什么上下界网络流的题（或许真的不常考？），唯一见过的一道就放上来叭QwQ。

题目与题解

　　Inspection LA 4597 NEERC 2009

　　题解还请看我的博客QwQ：http://www.cnblogs.com/mlystdcall/p/6734979.html