【题解】Weird journey Codeforces 788B 欧拉路

传送门：http://codeforces.com/contest/788/problem/B

好题！好题！

首先图不连通的时候肯定答案是0，我们下面讨论图联通的情况

首先考虑，如果我们每条边都经过两边，那么肯定是可行的

因为这样相当于把每条边复制一遍，然后问图中是否存在欧拉路径

既然每条边都出现了两遍，那么所有点的度数一定都是偶数，所以肯定有欧拉路径

现在考虑将某两条边变成出现一遍，这样的话可能会有一些点的度数变成奇数

如果我们把两条非自环的边变成出现一遍，并且这两条边不交于同一个点，那么就会有四个度数为奇数的点，则图中不存在欧拉路径

如果我们把两条非自环的边变成出现一遍，并且这两条边交于同一个点，那么就会有两个度数为奇数的点，存在欧拉路径

如果我们把两条自环边变成出现一遍，所有点的度数仍然为偶数，存在欧拉路径

如果我们把一条自环，一条非自环的边变成出现一遍，那么就会有两个度数为奇数的点，存在欧拉路径

所以一共就几种情况，除去判联通的部分，我们只要记录每个点的度数（不含自环）和自环的数量就好了

因为题目中保证一条边不会出现两遍，所以我们的方法才是可行的

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1000010;

int n, m;

namespace Graph {
    int head[MAXN], nxt[MAXN<<1], to[MAXN<<1], eidx;
    void init() {
        eidx = 0;
        memset( head, -1, sizeof(head) );
    }
    void adde( int u, int v ) {
        to[eidx] = v, nxt[eidx] = head[u], head[u] = eidx++;
    }
}

bool ing[MAXN] = {0}, vis[MAXN] = {0}; // ing表示这个点是否存在于图中，因为题目只要求边互相联通，所以对于没有度数的点可以看做不存在
queue<int> q;
bool bfs() { // bfs判联通
    using namespace Graph;
    for( int i = 1; i <= n; ++i )
        if( ing[i] ) {
            q.push(i), vis[i] = true;
            break;
        }
    while( !q.empty() ) {
        int u = q.front(); q.pop();
        for( int i = head[u]; ~i; i = nxt[i] ) {
            int v = to[i];
            if( vis[v] ) continue;
            q.push(v), vis[v] = true;
        }
    }
    for( int i = 1; i <= n; ++i )
        if( ing[i] && !vis[i] )
            return false;
    return true;
}

int deg[MAXN] = {0}, loop = 0; // 每个点的度数（不含自环）和总的自环数量
int main() {
    scanf( "%d%d", &n, &m );
    Graph::init();
    for( int i = 0; i < m; ++i ) {
        int u, v; scanf( "%d%d", &u, &v );
        ing[u] = ing[v] = true;
        if( u != v ) {
            Graph::adde(u,v), ++deg[u];
            Graph::adde(v,u), ++deg[v];
        } else { // 自环
            Graph::adde(u,v), ++loop;
        }
    }
    if( !bfs() || m < 2 ) {
        puts("0");
        return 0;
    }
    ll ans = (ll)loop*(m-loop) + (ll)loop*(loop-1)/2; // 选一个自环和一个非自环，或者选两个自环
    for( int i = 1; i <= n; ++i )
        ans += (ll)deg[i]*(deg[i] - 1)/2; // 选两个非自环，且交于同一点的边
    cout << ans << endl;
    return 0;
}