【题解】Head Maker HDU 6809 2020杭电多校4 图论 随机化

题意

给你一个\(n \times m\)的矩形方格纸片，其中有些位置是洞，保证不是洞的位置连通

现在你可以沿着边界剪一剪，要求剪完了之后，纸片不能断开（不能断裂成多个连通块），然后问，剪完的纸片是否可以折成一个正方体，剪的方案是由你来决定的，也就是问，是否存在一种剪的方案，使得纸片可以折成一个正方体

正方体的一个面可以被多次覆盖

题解

不难发现，我们要剪完之后把纸片折起来，也就是说，剪完了之后，格子应该形成一个生成树

再发现，如果这个生成树的形态确定了，那么不论以什么顺序折，最后得到的立方体都是一样的

又发现，当纸片比较大的时候，总是可以折成一个正方体的

但是什么叫“纸片比较大”呢？不太清楚

于是我们考虑随机一个生成树出来，然后判断这个生成树是否可以折成一个正方体

随机10000次，如果都不行，那么就不存在这样一个方案，否则可以

这样就一举解决了“纸片大”和“纸片小”的问题

随机生成树的方法是，把边random_shuffle，然后用并查集依次把边加进来

判断一个生成树是否可行的方法也是个难点

考虑折纸的过程太复杂，因此我们考虑有一个正方体，在这个平摊开的纸片上滚来滚去，滚到一个方格上，就可以给那个面染色

如果滚完了所有格子，6个面都被染色了，就是一组解

这样判断就简单多了

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<pii,pii> Edge;
const int N = 6;
int _w;

int n, m, a[N][N];
vector<Edge> edge;
vector<pii> adj[N][N];

namespace DSU {
    int pa[N*N];

    void init() {
        for( int i = 0; i < N*N; ++i )
            pa[i] = i;
    }
    int find( int u ) {
        return u == pa[u] ? u : pa[u] = find( pa[u] );
    }
    bool link( int u, int v ) {
        u = find(u), v = find(v);
        if( u == v ) return false;
        return pa[u] = v, true;
    }
}

int face[6];

void rotate( int x, int y, int nx, int ny ) {
    int tmp[6];
    if( nx == x+1 ) {
        tmp[0] = face[4];
        tmp[5] = face[2];
        tmp[1] = face[1];
        tmp[3] = face[3];
        tmp[4] = face[5];
        tmp[2] = face[0];
    } else if( nx == x-1 ) {
        tmp[0] = face[2];
        tmp[5] = face[4];
        tmp[1] = face[1];
        tmp[3] = face[3];
        tmp[4] = face[0];
        tmp[2] = face[5];
    } else if( ny == y+1 ) {
        tmp[0] = face[3];
        tmp[5] = face[1];
        tmp[1] = face[0];
        tmp[3] = face[5];
        tmp[4] = face[4];
        tmp[2] = face[2];
    } else if( ny == y-1 ) {
        tmp[0] = face[1];
        tmp[5] = face[3];
        tmp[1] = face[5];
        tmp[3] = face[0];
        tmp[4] = face[4];
        tmp[2] = face[2];
    } else {
        assert(0);
    }
    for( int i = 0; i < 6; ++i )
        face[i] = tmp[i];
}

void dfs( int x, int y, int fax, int fay ) {
    face[0] = 1;
    for( pii nxt : adj[x][y] ) {
        int nx = nxt.first;
        int ny = nxt.second;
        if( nx == fax && ny == fay ) continue;
        rotate(x, y, nx, ny);
        dfs(nx, ny, x, y);
    }
    if( fax != -1 ) rotate(x, y, fax, fay);
}

bool chk( int sx, int sy ) {
    memset(face, 0, sizeof face);
    dfs(sx, sy, -1, -1);
    for( int i = 0; i < 6; ++i )
        if( face[i] == 0 )
            return false;
    return true;
}

bool check() {
    DSU::init();
    for( int i = 0; i < n; ++i )
        for( int j = 0; j < m; ++j )
            adj[i][j].clear();
    for( Edge e : edge ) {
        pii u = e.first;
        pii v = e.second;
        int uid = u.first * N + u.second;
        int vid = v.first * N + v.second;
        if( DSU::link(uid, vid) ) {
            adj[u.first][u.second].push_back(v);
            adj[v.first][v.second].push_back(u);
        }
    }
    for( int i = 0; i < n; ++i )
        for( int j = 0; j < m; ++j )
            if( a[i][j] )
                return chk(i, j);
    return false;
}

int main() {
    int T;
    _w = scanf( "%d", &T );
    while( T-- ) {
        _w = scanf( "%d%d", &n, &m );
        for( int i = 0; i < n; ++i )
            for( int j = 0; j < m; ++j ) {
                char ch;
                _w = scanf( " %c", &ch );
                a[i][j] = ch - '0';
            }
        edge.clear();
        for( int i = 0; i < n; ++i )
            for( int j = 0; j < m; ++j ) {
                if( i != n-1 && a[i][j] && a[i+1][j] ) {
                    edge.push_back( Edge(pii(i, j), pii(i+1, j)) );
                }
                if( j != m-1 && a[i][j] && a[i][j+1] ) {
                    edge.push_back( Edge(pii(i, j), pii(i, j+1)) );
                }
            }
        bool yes = false;
        for( int times = 0; times < 10000; ++times ) {
            random_shuffle(edge.begin(), edge.end());
            if( check() ) {
                yes = true;
                break;
            }
        }
        puts( yes ? "Yes" : "No" );
    }
    return 0;
}