斯特林数总结

第一类斯特林数

\(n^2\)递推式

\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)表示\(n\)个不同的人做\(k\)张圆桌的方案数(相对位置的变化算不同),那么有以下的式子:

\[\begin{bmatrix} n\\k \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} n-1\\k-1 \end{bmatrix}+(n-1) \begin{bmatrix} n-1\\k \end{bmatrix} \]

每一张桌子都要有一个人

一个人的插入当且仅当有两种情况:

1. 自己新开一张桌子,所以方案是\(\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}\)
2. 和别人合并到一张桌子,此时这个人可以做到任何一个人的右手边,所以方案数是\((n-1)\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}\)

这个式子就解释清楚了.

第一类斯特林数的一些性质

\[\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix} n\\ i \end{bmatrix} =n! \]

\[x^{\underline n}=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}-1^{n-i}x^i \]

\[x^{\overline n}=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i \]

证明可以用数学归纳法证明.戳这里看证明

快速求法

但是有的实际问题中我们并不需要用到所有的斯特林数,或者是题目钦定你求一行的第一类斯特林数,考虑生成函数.

我们知道\(x\)的\(n\)次上升幂是第一类斯特林数的生成函数,那么得到下面的式子:

\[\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i \]

然后这个东西显然可以分治\(FFT\)的对吧(其实一开始我是不知道为什么显然的.)

你考虑我们令\(f_i\)表示\(\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\),那么你把左右卷起来,显然得到的就是\(l\)到\(r\)区间的第一类斯特林数对吧.

然后初始你令\(f_i=i\),然后直接分治\(FFT\)就行了,注意要补\(1\)满足能够卷出来.

第二类斯特林数

\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)表示把\(n\)个不同的球放到\(k\)个黑暗的盒子里面的方案数(盒子里面的顺序不用管).

\(n^2\)递推式

那么根据这个定义可以写出来式子:

\(\begin{Bmatrix}n \\ k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1 \\ k-1\end{Bmatrix}+(k-1)\begin{Bmatrix}n-1 \\ k\end{Bmatrix}\)

容斥式

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n \]

这就是考虑有\(i\)个空盒,剩下的随便放.

快速求法

你把容斥的式子拆开:

\[\begin{align} \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}&=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n\\ &=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(k-i)^n}{(k-i)!} \end{align} \]

这就是一个卷积的形式了,直接\(NTT\)即可.

一些性质

\[n^m=\sum_{i=0}^ni!\binom{n}{i}\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix} \]

根据几何意义理解一下这个式子:

\(n^m\)表示把\(m\)个不同球放到\(n\)个盒子里面的方案数(盒子可以为空),那么我们枚举有多少个盒子不是空的,这个时候\(\binom{n}{i}\)就出来了,然后相当于是把\(m\)个球放到这\(i\)个盒子里面.因为球是不同的,所以要带一个\(i!\).

自然数幂和:

\[\begin{align} \sum_{i=1}^ni^k&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^ij!\binom{i}{j}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\\ &=\sum_{j=0}^ij!\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=1}^n\binom{i}{j}\\ &=\sum_{j=0}^ij!\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\binom{n+1}{j+1}\\ &=\sum_{j=0}^ij!\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{(n+1)!}{(j+1)!(n-j)!}\\ &=\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{(n+1)^{\underline {j-1}}}{j+1} \end{align} \]

终于手推完了\(QwQ\).

题目

• [TJOI2016&HEOI2016]求和
• BZOJ5093 [Lydsy1711月赛]图的价值