[TJOI2015]概率论

传送门

Loj
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Solution

我们考虑一下设\(f(x)\)表示当\(n\)为\(x\)时构造二叉树的方案数,\(g(x)\)表示当\(n\)为\(x\)时构造二叉树的叶子节点数的总和.
仔细看一下这个句子:当$n$为$x$时构造二叉树的方案数.\(Catalan\)数无疑了,接着就是解决\(g(x)\)是什么.
现在不是有\(g(x)\)个叶子对吧,那么我们把这些叶子分别删掉,那么就是\(g(x)\)个\(n-1\)的节点的树.
然后算上贡献就是\(f(x-1)*x\)对吧.
接着你可以写出一个式子:

\[Ans=\frac{(2n-2)!n!(n+1)!}{(2n)!(n-1)!n!} \\ =\frac{n(n+1)}{2*(2n-1)} \]

代码实现

/*
  mail: mleautomaton@foxmail.com
  author: MLEAutoMaton
  This Code is made by MLEAutoMaton
*/
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
inline ll gl()
{
	ll f=1,sum=0;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}
ll n;
int main()
{
	n=gl();
	printf("%.9lf\n",n*(n+1)*1./((2*n-1)*2));
	return 0;
}