单应性(homography)变换的推导

矩阵的一个重要作用是将空间中的点变换到另一个空间中。这个作用在国内的《线性代数》教学中基本没有介绍。要能形像地理解这一作用，比较直观的方法就是图像变换，图像变换的方法很多，单应性变换是其中一种方法，单应性变换会涉及到单应性矩阵。单应性变换的目标是通过给定的几个点（通常是4对点）来得到单应性矩阵。假设单应性矩阵为：

$$
H= \begin{bmatrix}
h_{11} & h_{12} & h_{13} \\
h_{21} & h_{22} & h_{23} \\
h_{31} & h_{32} & h_{33}
\end{bmatrix}
$$
 上面的矩阵$H$会将一幅图像上的一个点的坐标$a=(x,y,1)$映射成另一幅图像上的点的坐标$b=(x_1,y_1,1)$，但H是未知的。通常需要根据在同一平面上已知的一些点对(比如$a$,$b$)来求$H$。 假设已知点对($a$,$b$)，则有下面的公式：
\begin{equation}
b=Ha^T
\end{equation}
即：
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x_1=h_{11}x + h_{12}y + h_{13}\\
y_1=h_{21}x + h_{22}y + h_{23}\\
1=h_{31}x + h_{32}y + h_{33} \\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
由上面这个公式中的$1=h_{31}x + h_{32}y + h_{33}$可得到下面两个等式
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x_1=\frac{x_1}{1}=\frac{h_{11}x + h_{12}y + h_{13}}{h_{31}x + h_{32}y + h_{33}}\\
y_1=\frac{y_1}{1}=\frac{h_{21}x + h_{22}y + h_{23}}{h_{31}x + h_{32}y + h_{33}}\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\begin{equation*}
\Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
h_{11}x+h_{12}y+h_{13}=h31xx_1+h_{32}yx_1+h_{33}x_1\\
h_{21}x + h_{22}y + h_{23}=h31xy_1+h_{32}yy_1+h_{33}y_1\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\begin{equation*}
\Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation}
\label{eq1}
\left\{
\begin{aligned}
0=h_{31}xx_1+h_{32}yx_1+h_{33}x_1-(h_{11}x+h_{12}y+h_{13})\\
0=h_{31}xy_1+h_{32}yy_1+h_{33}y_1-( h_{21}x + h_{22}y + h_{23})\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
对于方程(1)可写成一个矩阵与一个向量相乘，即：
\begin{equation}
\label{eq2}
\begin{bmatrix}
-x & -y &-1&0&0&0&xx_1&yx_1&x_1 \\
0&0&0& -x & -y &-1&xy_1&yy_1&y_1 \\
\end{bmatrix} h=0
\end{equation}
其中，$h=[h_{11} , h_{12} , h_{13} , h_{21} , h_{22} , h_{23} , h_{31} , h_{32} , h_{33}]^T$，是一个9维的列向量。若令:
\begin{equation}
A=\begin{bmatrix}
-x & -y &-1&0&0&0&xx_1&yx_1&x_1 \\
0&0&0& -x & -y &-1&xy_1&yy_1&y_1 \\
\end{bmatrix}
\end{equation}
则$\eqref{eq2}$可以记为
\begin{equation}
Ah=0
\end{equation}
这里的$A\in R^{2\times 9}$。这只是1对点所得到的矩阵$A$。究竟要多少点对才能求出$H$?由于我们是采用齐次坐标（即(x,y,1)）来表示平面上的点，所以存在一个非零的标量$s$，使得$b_1=sHa^T$与$b=sHa^T$都表示同一个点$b$。若令$s=\frac{1}{h_{33}}$，则$\frac{1}{h_{33}}H$为

\begin{equation}
\label{eq3}
\frac{1}{h_{33}}H=
\begin{bmatrix}
\frac{h_{11}}{h_{33}} &\frac{h_{12}}{h_{33}} &\frac{h_{13}}{h_{33}} \\
\frac{h_{21}}{h_{33}} &\frac{h_{22}}{h_{33}} &\frac{h_{23}}{h_{33}} \\
\frac{h_{31}}{h_{33}} &\frac{h_{32}}{h_{33}} &1
\end{bmatrix}
\end{equation}

从公式$\eqref{eq3}$可以看出，其实$H$只有8个变量（8个自由度）。因此，只需要4个点对，然后通过解线性方程组就可以求得$H$。也可以多于4个点对。

假设有$n\geq 4$个点对，则得到的矩阵$A\in R^{2n\times 9}$。如何求解向量$h$呢？方法很简单，真接对$A$进行SVD分解，即
\begin{equation}
U*\Sigma*V^T
\end{equation}
然后取$V$的最后一列出来作为求解$h$。因为矩阵$A$是行满秩，即只有一个自由度。
具体实现时，先要得到两幅图，然后在两幅图之间找到4对点的坐标，由此得到矩阵$A$，然后在matlab中可以这样实现:

[U,S,V]=svd(A);

h=V(:,9);

H= reshape(h,3,3);

由单应性矩阵可以得到仿射变换，还可以在单应性矩阵上做图像拼接。