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摘要： 二项式反演 定理 $1$：$F(n)=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}G(i)}\Leftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^{n-i}{n\choose i}F(i)}$ 证明： 提取系数有 $F[n]=\sum_{i=0}^{n}{{n\ 阅读全文

摘要： 杜教筛 前置知识：狄利克雷卷积，数论函数。 应用：主要用于求积性函数的前缀和。 注意和线性筛的区别，线性筛关注于求出积性函数每一项的值，而杜教筛着重于求取前缀和，而不关注每一项具体的值。 先放出模板题：$\to LuoGu:$ P4213[模板]杜教筛 推导 假设已知一个狄利克雷卷积式子 $A\as 阅读全文

摘要： 反演原理 推荐阅读：反演原理相关_hezlik的博客 前置废话：学习二项式反演时不知道几个形式之间的互相推导，于是就有了这篇博客。 给定函数 $F\to G$ 之间的（求和）关系式，由此推出 $G\to F$ 的关系式，此二者之间的相互推导就称为反演关系。 定义两个关系矩阵 $A$ ，来描述求和关系 阅读全文

摘要： 二次剩余与 cipolla 算法 概述 $cipolla$ 算法用于求解 $x^2\equiv n\pmod p$ 此类同余方程。（这里只讨论模数 $p$ 为奇素数的情况） 若该方程有解，那么 $n$ 就称为模 $p$ 的二次剩余，否则 $n$ 为 $\bmod~p$ 意义下的二次非剩余。 几个定理 阅读全文

摘要： BSGS 大步小步算法 $Baby~Step, Giant~Step$，大步小步算法（轻量级算法，求解高次同余方程）。 思路 先上例题：给定整数 $a,b,p$，其中 $\mathbf{a,p}$ 互质，求一个非负整数 $x$，使得 $a^x\equiv b\pmod p$ 朴素算法概述： 考虑一个 阅读全文

摘要： 母函数 概念构建 幂级数型母函数 对于序列 $a_0,a_1,a_2\dots ,a_n\dots$，构建函数： $F(x)=a_0+a_1\times x^{1}+a_2\times x^2+\dots + a_n\times x^n+\dots$ 则称 $F(x)$ 是序列 $a_1,a_2\d 阅读全文

摘要： 有限集的映射 （前置知识） 设两集合 $X={1, 2, 3\dots n}$ 和 $A={a_1, a_2\dots a_n}$。 $X$ 到 $A$ 的一个对应规则称为一个映射，记作：$\varphi=\begin{pmatrix}1&2&\dots&n\a_1&a_2&\dots&a_n\en 阅读全文

摘要： 数学知识总结一，内容参照NOI大纲中提高级内容。共初等数论，组合数学，线性代数三个版块。 主要自己复习用，可能学习参考价值不大。 阅读全文