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摘要： 二分 一种比较通用二分写法，不太用考虑边界的问题。 int l = st, r = ed, ans = ed + 1; while (l <= r) { int mid = (l + r) >> 1; if (check(mid)) ans = mid, l = mid + 1; else r = 阅读全文

摘要： 最短路 dijkstra 复习一遍模板。Dijkstra模板 适用性：适用于非负权图。 每个点第一次从堆中被取出时，其 $dis$ 一定是最短路。 $Dijkstra$ 贪心的正确性： 现证明：取出 $x$ 时，它的 $dis$ 已经是最短路。 反证法：若 $x$ 的 $dis$ 不为最短路，其更新 阅读全文

摘要： 对偶图 前置知识： 平面图：无向图 $G$ 若可以画在一个平面上，且其中没有任何边的交叉，则称图 $G$ 是一个平面图。 图的面：在平面上划分出的区域称为一个面。 割边：如果去掉割边后，该边所在的图会被分成两部分。 对偶图的概念： 设 $G$ 是平面图，在图 $G$ 的每个面中指定一个新结点，对于两 阅读全文

摘要： BSGS 算法 可爱的质数/[模板]BSGS 给定整数 $a,b,p$，其中 $a,p$ 互质，求一个非负整数 $x$，使得 $a^x\equiv b\pmod p$ 朴素算法概述： 考虑一个暴力算法，在 $\bmod~p$ 的意义下，$a^x$ 显然有一个长度为 $\varphi(p)$ 的循环节 阅读全文

摘要： 第二类斯特林数 定义 第二类斯特林数 $S_2(n,k)$ 表示 ${1,2\dots n}$ 划分成 $k$ 个非空子集的方案数。 举个例子： $S={1,2,3,4}$，$k=3$。 其方案为： ${1,2}\cup{3}\cup{4}，{1,3}\cup{2}\cup{4}，{1,4}\cup 阅读全文

摘要： prufer序列 $prufer$ 序列是无根树的序列化表示，有标号的无根树与长度为 $n-2$ 的 $prufer$ 序列构成双射。 构造方法 将度数为 $1$ 的节点定义为叶子节点。 对于一棵有标号的无根树，构造一个 $prufer$ 序列： 找到编号最小的一个叶子节点，记为 $x$ ，将与 $ 阅读全文

摘要： 二项式反演 定理 $1$：$F(n)=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}G(i)}\Leftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^{n-i}{n\choose i}F(i)}$ 证明： 提取系数有 $F[n]=\sum_{i=0}^{n}{{n\ 阅读全文

摘要： 杜教筛 前置知识：狄利克雷卷积，数论函数。 应用：主要用于求积性函数的前缀和。 注意和线性筛的区别，线性筛关注于求出积性函数每一项的值，而杜教筛着重于求取前缀和，而不关注每一项具体的值。 先放出模板题：$\to LuoGu:$ P4213[模板]杜教筛 推导 假设已知一个狄利克雷卷积式子 $A\as 阅读全文

摘要： 反演原理 推荐阅读：反演原理相关_hezlik的博客 前置废话：学习二项式反演时不知道几个形式之间的互相推导，于是就有了这篇博客。 给定函数 $F\to G$ 之间的（求和）关系式，由此推出 $G\to F$ 的关系式，此二者之间的相互推导就称为反演关系。 定义两个关系矩阵 $A$ ，来描述求和关系 阅读全文

摘要： 二次剩余与 cipolla 算法 概述 $cipolla$ 算法用于求解 $x^2\equiv n\pmod p$ 此类同余方程。（这里只讨论模数 $p$ 为奇素数的情况） 若该方程有解，那么 $n$ 就称为模 $p$ 的二次剩余，否则 $n$ 为 $\bmod~p$ 意义下的二次非剩余。 几个定理 阅读全文