群论

有限集的映射

（前置知识）

设两集合 \(X={1, 2, 3\dots n}\) 和 \(A={a_1, a_2\dots a_n}\)。

\(X\) 到 \(A\) 的一个对应规则称为一个映射，记作：\(\varphi=\begin{pmatrix}1&2&\dots&n\\a_1&a_2&\dots&a_n\end{pmatrix}\)

\(a_i=\varphi(1)\) 表示 \(X\) 的对象 \(i\) 对应 \(A\) 的对象 \(a_i\)。

• 满映射：\(\forall a\in A, \exists~i\in X,\text{ s.t. } a=\varphi(i)\)，则映射 \(\varphi\) 称为满映射或满射。

• 单射：对于 \(i,j\in X\) 如果有 \(i\neq j\) 可推出 \(\varphi(i)\neq \varphi(j)\)，或者有 \(\varphi(i)=\varphi(j)\) 可推出 \(i=j\)，则映射 \(\varphi\) 称为一对一映射或单射。

• 双射：如果映射 \(\varphi\) 既是单射又是满射，则映射 \(\varphi\) 称为双射。

满射，单射，双射的必要条件分别是 \(|X|\ge |A|, |X|\le |A|\) 和 \(|X|=|A|\)。

群的基本概念

给定一个非空集合 \(G\)，和其上的二元运算 \(*\)，满足如下性质：

1. 封闭性：\(\forall a,b\in G, a*b\in G\)

2. 结合律：\(\forall a,b,c\in G(a*b)*c=a*(b*c)\)

3. 存在单位元：\(\exists e\in G,\text{ s.t. }\forall a\in G\) 满足 \(a*e=e*a=a\)

4. 存在逆元：对于任意 \(a\in G.\exists~b\in G,\text{ s.t. }a*b=b*a=e\)（记 \(b\) 为 \(a^{-1}\)）

就称 \(G\) 对于 \(*\) 运算成群，记为 \((G,*)\) 。

例 \(1.1\): \(G=R-\{0\}\) 对乘法 \(\times\) 运算成群。

• 封闭性：实数乘以实数仍然在实数集合中。
• 结合律：乘法运算满足结合律。
• 存在单位元：单位元为 \(1\)。
• 存在逆元：\(\forall a\in G\) ，有逆元 \(\frac{1}{a}\)

练 \(1.1\): \(G={0,1,2\dots n-1}\) 在 \(\bmod~n\) 的加法下是群。

性质 \(1.1\) 群的单位元唯一。

证明：

反证法。假设有两个不同的单位元 \(e_1,e_2\)，由群的定义可知：

\(e_1=e_1*e_2=e_2\to\) 矛盾。

性质 \(1.2\) 消去律：\(a*c=b*c\to a=b\)

性质 \(1.3\) 每个元素的逆唯一

反证法。假设 \(a\) 有两个不同的逆元 \(b, c\)：

那么 \(a*b=a=a*c\) 于是由性质 \(1.2\) 可知 \(b=c\)，矛盾。

性质 \(1.4\) 任意一个元素的逆元的逆元是其本身。

设 \(b\) 是 \(a^{-1}\) 的逆元，则有 \(b*a^{-1}=e=a^{-1}*a\)，于是由性质\(1.2\) 可知 \(a=b\)。

置换与置换群

置换的定义

集合 \(X=\{1,2,3\dots n\}\) 到自身的双射。

\(\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\a_1&a_2&a_3&...&a_n\end{pmatrix}\)

简单来说，就是用 \(a_i\) 取代 \(i\)。

其中各个 \(a_i\) 互不相同，移动后 \(n\) 个元素仍然存在，即 \(\{a_n\}\) 为 \(1\sim n\) 的一个排列。

如 \(p=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&4&2\end{pmatrix}\)

这个置换就代表着:

• 把 \(1\) 移到第 \(3\) 个
• 把 \(2\) 移到第 \(1\) 个
• 把 \(3\) 移到第 \(4\) 个
• 把 \(4\) 移到第 \(2\) 个

写作 \(1\xrightarrow{p}3~~~2\xrightarrow{p}1~~~3\xrightarrow{p}4~~~4\xrightarrow{p}2\)。

置换的乘法

对于两个置换 \(f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\end{pmatrix}\) 和 \(g=\begin{pmatrix}a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\\a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}\end{pmatrix}\)。

相乘后值为 \(\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}\end{pmatrix}\)

简单来说就是先后经过 \(f\) 的映射，再经过 \(g\) 的映射。

看一个稍微复杂一点的例子：

设 \(p_1=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}\)，\(p_2=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\end{pmatrix}\)

则 \(p_1*p_2=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{pmatrix}\)

因为 \(1\xrightarrow{p_1}2\xrightarrow{p_2}4~\mid~2\xrightarrow{p_1}3\xrightarrow{p_2}1~\mid~3\xrightarrow{p_1}1\xrightarrow{p_2}2~\mid~4\xrightarrow{p}4\xrightarrow{p_2}3\)。

性质 \(2.1\)： 置换的乘法一般不满足交换律。

置换的轮换表示

对于一个置换 \(\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\a_1&a_2&a_3&...&a_n\end{pmatrix}\) 将 \(i\to a_i\) 用一条有向边连接。

\(f\) 所决定的图的每个连通分支是一个轮换（又称循环置换），而这些不同的轮换形成 \(X\) 的划分。

如 \(f = \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\4&3&7&5&6&9&8&2&1&12&11&13&11&15&14\end{pmatrix}\)。

于是 \(f\) 可以表示为 \((1~4~5~6~9)(2~3~7~8)(10~12~13)(11)(14~15)\)。

通常省略一元轮换，如 \((11)\)，记 \(f\) 为 \((1~4~5~6~9)(2~3~7~8)(10~12~13)(11)(14~15)\)。

性质 \(2.2\)： 轮换表示只与元素的相邻状况有关，而与哪个元素为首无关。

例如：\((1~2~3~4)=(2~3~4~1)\)，但是 \((1~2~3~4)\neq(1~3~2~4)\)

性质 \(2.3\) 任何置换都能表示成若干个不相交轮换的乘积形式，且表示方法唯一。

置换群

容易发现置换具有如下性质：

• 置换的乘积还是置换

• 具有单位元 \(\begin{pmatrix}1&2&\dots&n\\1&2&\dots&n\end{pmatrix}\)。

• 置换乘法满足结合律

• \(\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\a_1&a_2&a_3&...&a_n\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&...&a_n\\1&2&3&...&n\end{pmatrix}\)

根据以上性质，可以得到：对 \(1\sim n\) 作用的所有置换形成一个群。

群论计数

概念

设群 \(G\) 作用在集合 \(\{1,2\dots n\}\) 上。

不动点：

对于 \(p\in G\)，若 \(k\xrightarrow{p}k\)，则称 \(k\) 是 \(p\) 下的不动点。记 \(p\) 的不动点个数为 \(c(p)\)。

k 不动置换类：

对于 \(p\in G\)，若 \(p\) 有不动点 \(k\)，则称 \(p\) 属于 \(k\) 不动置换类，记作 \(p\in Z_k\)。

例 \(3.1\)：设 \(G={e, (1~2), (3~4), (1~2)(3~4)}\)，那么 \(G\) 的 \(k\) 不动置换类为 \(Z_1=\{e,(3~4)\},Z_2=\{e, (3~4)\},Z_3=\{e,(1~2)\},Z_4=\{e, (3~4)\}\)

等价类

例 \(3.2\)：

再看 \(G=\left\{e, (1~2), (3~4), (1~2)(3~4)\right\}\)。

在群 \(G\) 的作用下，数 \(1\) 变成 \(2\)，\(2\) 变成 \(1\)；\(3\) 变成 \(4\)，\(4\) 变成 \(3\)。

因此 \(1, 2\) 属于同一类，而 \(3, 4\) 属于另一类，\(1\) 或 \(2\) 不能在群的作用下变成 \(3\) 或 \(4\)，\(3\) 或 \(4\) 也不能在群的作用下变成 \(1\) 或 \(2\)。

于是可以得到 \(k\) 所属的等价类可以看作 \(k\) 在群的作用下的轨道。

等价类的本质还是集合。

记 \(k\) 所属的等价类为 \(E_k\)，则 \(E_k\) 满足如下定理：

定理 \(3.2\)（轨道稳定集子定理）：\(|E_k|*|Z_k|=|G|\)。

定理 \(3.3\)（拉格朗日定理）： 子群的阶必然能够整除群的阶。

Burnside 引理

定理 \(3.3\)： 称 \(E_{1\sim n}\) 中本质不同的个数为等价类个数，设为 \(L\)。

\(\displaystyle L=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G}c(p)\)

简单来说，就是 等价类个数=各个置换中不动点个数的平均值。

例 \(3.3\)：

用两种颜色对正方形的四个顶点着色，问能得到多少中不同的图像（即为不可旋转同构）。

考虑设逆时针旋转 \(0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}\) 为四种置换，将 \(16\) 种染色方法看做置换中的元素。题意要求的就是本质不同的等价类个数。

考虑应用 \(Burnside\) 引理。容易得到各个置换的不动点个数如下所示。

旋转 \(0^{\circ}\)：\(c(p_0)=16\)。

旋转 \(90^{\circ}\)：\(c(p_1)=2\)。

旋转 \(180^{\circ}\): \(c(p_2)=4\)。

旋转 \(270^{\circ}\)：\(c(p_3)=2\)。

比如 \(\begin{pmatrix}\text{red}&\text{blue}\\\text{blue}&\text{red}\end{pmatrix}\) 就是旋转 \(180^{\circ}\) 置换下的一个不动点。

于是本质不同的方案数为 \(\displaystyle L=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G}{c(p)}=\frac{1}{4}(16+2+4+2)=6\)。

Polya 原理

但是我们发现置换的大小过大后，很难用 \(Burnside\) 引理找出一个合理的计数方案。

于是有了 \(Polya\) 原理（实质上就是 \(Burnside\) 引理的推论）：

定理 3.4： 用 \(m\) 种颜色，涂染 \(n\) 个对象，则不同的染色方案为：

\(\displaystyle L=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G}{m^{d(p)}}\)。其中 \(d(p)\) 为置换 \(p\)

例 \(3.4\)（理解）：

同例 \(3.3\)。用两种颜色对正方形的 \(4\) 个顶点着色，问能得到多少中不同的图像。

解：

\[\begin{matrix}2&1\\3&4\\\end{matrix} \]

将图形中四个格子标号为 \(1,2,3,4\)，如上所示。

将图形看作元素（注意，这与 \(Burnside\) 引理中的定义不同），置换即为旋转置换（逆时针旋转 \(0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}\)）。

于是可以得到 \(G\) 中的 \(4\) 种置换分别为：

• 旋转 \(0^{\circ}\)：\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\\\end{pmatrix}=(1)~(2)~(3)~(4)\)
• 旋转 \(90^{\circ}\)：\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\\\end{pmatrix}=(4~3~2~1)\)
• 旋转 \(180^{\circ}\)：\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\\\end{pmatrix}=(1~3)~(2~4)\)
• 旋转 \(270^{\circ}\)：\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\\end{pmatrix}=(1~2~3~4)\)

由 \(Polya\) 原理可以得到：\(L=\frac{1}{2}\times (2^4+2^1+2^2+2^1)=6\)

如此可见，\(Polya\) 原理在某些计数问题上较 \(Burnside\) 引理简洁。

证明

证明从略。

首先设 \(G\) 是对状态的置换群，有 \(\displaystyle L=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G}{T(p)}\)，其中 \(T(p)\) 代表置换 \(p\) 下不动的染色方案数。

比如 \(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\\end{pmatrix}\)，染成 \(\{a,a,b,b\}\) 。

置换完了之后还是 \(\{a,a,b,b\}\) ,则称之为不动的染色方案。

感性一点的理解就是把"不动的染色方案"看作 \(Burnside\) 引理中的不动点，于是就可以得到以上形式。

（这也相当于 \(Burnside\) 引理的一种变式吧，将"不动的染色方案"看作 \(Burnside\) 引理中的不动点。）

在一个置换中显然一个轮换必须染上相同的颜色才能使得染色方案不动，不同的轮换间互不影响，于是可以得出有 \(m^{d(p)}\) 中染色方案。

综上即是 \(Polya\) 原理：\(\displaystyle L=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G}{m^{d(p)}}\)。

[模板]Pólya 定理 - 洛谷

将置换看作：旋转 \(1,2\dots n\) 次，于是 \(|G|=n\)。

容易发现旋转 \(i\) 次的置换的轮换有 \(gcd(n,i)\) 个。

所以 \(L=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{m^{gcd(n, i)}}\) 。

魔力环 - 洛谷