数学知识总结（一）

提高组数学学习笔记

初等数论

同余式

• 基本概念
  \(a\) 与 \(b\) 在模 \(n\) 的意义下同余，记作 \(a\equiv b\pmod n\)

  也可简记为 \(a\equiv b(n)\)

• 同余类、剩余系

  • 同余类： 模 \(n\) 同余的所有整数组成的集合称为同余类，共有 \(n\) 个同余类。

  • 剩余系： 对于某一个特定的正整数 \(n\) ，一个整数集中的数模 \(n\) 所得的余数域。

  • 完全剩余系： 设 \(m\in \mathbb{Z^+}\) ，若 \(r_0,r_1\dots r_{m-1}\) 为 \(m\) 个整数，并且两两模 \(m\) 不同余，则 \(r_0,r_1,\dots r_{m-1}\)叫作模 \(m\) 的一个完全剩余系。

  • 简化剩余系： 也称既约剩余系或缩系，是 \(m\) 的完系中与 \(m\) 互质的数构成的子集。

欧拉定理和欧拉函数

欧拉函数

• 概念：
  \(\varphi(n)\) 表示 \(n\) 以内与 \(n\) 互质的数的个数。
• 公式：\(\varphi(N) = N\times\prod_{Prime\ p | N}{(1 - \frac{1}{p})}\)
• 求法：
  • 单个套公式
  • 多个线性筛

int phi[N], primes[N], v[N];
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
    if (!v[i]) v[i] = i, primes[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
    for (int j = 1; j <= cnt; j++)
    {
        if (v[i] > primes[j]) break;
        v[primes[j] * i] = primes[j];
        phi[i * primes[j]] = (i % primes[j]) ? (primes[j] - 1) * phi[i] : primes[j] * phi[i];
    }
}

欧拉定理

当 \(a,n\) 互质时，\(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\)

• 证明：
  设 \(a_1,a_2,a_3\dots a_{\varphi(n)}\) 构成 \(\bmod~n\) 意义下的简化剩余系。

  \(\forall i,j \in [1, \varphi(n)], a_i \times a\not \equiv a_j\times a\)

  所以 \(\forall i \in [1, \varphi(n)], a_i\times a\) 也构成 \(\bmod~n\) 意义下的简化剩余系。

  \(a^{\varphi(n)}\times a_1 \times a_2 \dots a_{\varphi(n)}\equiv (a\times a_1)\times (a\times a_2)\dots (a\times a_{\varphi(n)})\pmod n\)

  将式子两边的 \(\bmod~n\) 的简化剩余系消去，就可以得到：

  \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\)

• 推论：

  • \(a, n\) 互质时，\(a^{b} \equiv a ^{b \bmod \varphi(n)}\pmod n\)
    \(a, n\) 不互质且 \(b >= \varphi(n)\) 时：\(a^{b} \equiv a^{b \bmod \varphi(n) + \varphi(n)}\pmod n\)
  • 使得 \(a^x\equiv 1\pmod n\) 的最小正整数解 \(x\) 必定满足 \(x|\varphi(n)\) 。

费马小定理

一般形式：\(a^{p} \equiv a\pmod p\)，当 \(p\) 为素数时成立。

常见形式：\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)，当 \(p\) 为素数且 \(a\) 与 \(p\) 互质时成立。

费马小定理是 \(n\) 为素数的必要非充分条件。

证明：

\(a\nmid p:\) 由欧拉定理 \(\varphi(p)=p-1\) 知 \(a^{p}\equiv p\pmod p\) 成立。

\(a\mid p:\) \(a^p\equiv 0\equiv a\pmod p\)

威尔逊定理

• 证明：逆元配对。
• 应用

例题：
给出素数 \(p\)，求 \(q!\mod p\)，其中 \(q\) 为比 p 小的最大素数，\(p \in [1, 10^9]\)。

裴蜀定理

一定 \(\exists x, y\in Z\ \ s.t.\ a \times x + b \times y = gcd(a, b)\) 成立。

• 证明

  • 数学归纳法
  • 完全剩余系

• 推论

  • \(a,b\) 互质的充分必要条件是存在整数 \(x,y\) 使 \(a \times x + b \times y=1\)
  • 设 \(a_1,a_2,a_3......a_n\) 为 \(n\) 个整数，\(d\) 是它们的最大公约数，那么存在整数\(x_1......x_n\) 使得 \(x_1*a_1+x_2*a_2+...x_n*a_n=d\) 。
  • \(a \times x + b \times y = c\) 有解当且仅当 \(c\ |\ gcd(a, b)\)

例题：
给定 \(K\)，\(M\) 求一个最小的正整数 \(x\),使得 \(K^x\equiv 1\pmod M\)，如果无解输出 \(-1\)。（阶？）

数据范围：\(2\leq K\)，\(M\le 2\times 10^9\)。

逆元

• 概念

逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素
                                    ---百度百科

很好理解，比如，一个数和它的相反数互为加法逆元 \(\dots\)。

\(a\) 的乘法逆元为满足 \(a\times b\equiv \pmod n\) 的 \(b\)。

记为 \(a^{-1}\)。

• 应用： 除法取模

• 求法：

  • 扩欧算法
    \(\to b\times a+y\times n=1\)

  • 费马小定理（注意：仅在 p 为质数时成立）
    \(a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod n\)

  • 线性递推：

    inv[1] = fac[1] = inv[0] = fac[0] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
    

扩展欧几里得算法

求解 \(a \times x + b \times y = gcd(a, b)\) 的一组特解 \((x_0, y_0)\)。

• 通解

对于形如 \(a \times x + b \times y = c, gcd(a,b)\ |\ c\) 的方程来说：

它的特解为 \((x^{'} = x_0 \times \frac{c}{gcd(a, b)}, y ^ {'} = y_0 \times \frac{c}{ gcd(a,b)})\)；

它的通解为 \((x'+ k \times \frac{b}{gcd(a, b)}, y^{'} - k \times \frac{a}{gcd(a, b)})\) 。

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) 
{
   if (b == 0)
       return void(x = 1), void(y = 0);
   exgcd(b, a % b, x, y);
   int z = x;
   x = y, y = z - y * (a / b);
}

中国剩余定理（CRT）

假设整数 \(m_1, m_2\dots m_n\) 两两互素，则对于任意的整数 \(a_1, a_2 \dots a_n\) ，方程组：

\[\begin{cases} x \equiv a_1\ ({\rm mod}\ m_1) \\ x\equiv a_2\ ({\rm mod}\ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_n\ ({\rm mod}\ m_n)\end{cases} \]

存在整数解。

我们设 \(M=\prod_{i=1}^{k}m_i\)，$ M_i=\frac{M}{m_i}\(，\)M_it_i≡1;;(mod;;m_i)$。

可以构造出一个解 \(x=\sum_{i=1}^{k}a_iM_it_i\)

• 证明： 展开即可。

int a[], m[], M[];
int CRT()
{
    int MUL = 1, TJ = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        MUL *= m[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x, y;
        M[i] = MUL / m[i];
        exgcd(M[i], m[i], x, y);
        if (x < 0) x += m[i];
        TJ += x * M[i] * a[i];
    }
    return TJ;
}

组合数学

可重集排列和可重集组合

多重集的排列数

设 \(S = \{n_1\times a_1, n_\times a_2,\dots n_k\times a_k\}\) 是由\(n_1\)个\(a_1\)，\(n_2\)个\(a_2\dots n_k\)个\(a_k\)组成的可重集。

那么 \(S\) 的全排列个数为 \(\frac{n!}{n_1!\times n_2!\dots \times n_k!}\)

多重集的组合数

从 \(n\) 个元素中选取 \(m\) 个元素，同一元素允许重复选取，产生的组合数量为 \(C_{n + m - 1}^{m - 1}\)。

扩展：不定方程的非负整数解
\(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n = m\)
非负整数解的个数为：\(C_{n + m - 1}^{m - 1}\)

• 证明

鸽巢原理

二项式定理

\((x+y)^n = \sum_{k = 0}^{n}{C_n^{k}\times x^k \times y^{n - k}}\)

• 证明：展开使用组合数分析。

容斥原理

• 并集形式
  \(|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \dots \cup A_n| = \sum_{1\le i\le n}{|A_i|}-\sum_{1\le i < j \le n} {|A_i \cap A_j|} + \dots + (-1)^{n + 1} \times |A_1 \cap A_2 \dots A_n |\)

• 交集形式（筛法公式）
  \(|\complement_{S}{A_1}\cup \complement_{S}{A_2} \dots \complement_{S}{A_n}| = |S| - \sum_{1\le i\le n}{|A_i|} + \sum_{1\le i < j \le n} {|A_i \cap A_j|} - \dots + (-1)^{n}\times |A_1 \cap A_2 \dots A_n |\)

• 从筛法公式理解错排公式

卡特兰数

• 定义

长度为 \(n\) 的 \(0, 1\) 序列，满足任意前缀中 \(0\) 的个数不小于 \(1\) 的个数的排列个数为 \(Cat_n = \frac{C_{2n}^{n}}{n + 1}\)

• 例子
  • 括号匹配
  • 出栈统计
  • 欧拉剖分

组合杂项

• 组合数的线性预处理

LL Combine(int x, int y) {
    return fac[x] * inv[x - y] % P * inv[y] % P;
}
void Init()
{
    inv[0] = inv[1] = fac[0] = fac[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++)
    {
        inv[i] = (P - P / i)% P * inv[P % i] % P;
        fac[i] = fac[i - 1] * i % P;
    }
    for (int i = 2; i < N; i++)
        inv[i] = inv[i] * inv[i - 1] % P;
}

• 杨辉三角与组合数
• 组合数的结论
  • \(\frac{i}{n}C_n^i = C_{n - 1}^{i - 1}\)
  • \(C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}\)
  • \(C_{m+r+1}^r=\sum_{i=0}^r C_{m+i}^i\)
  • \(\sum_{i=0}^m C_m^i=2^m\)
  • \(C_m^0+C_m^2+C_m^4...=C_m^1+C_m^3+C_m^5+...=2^{m-1}\)
  • \(\sum_{i=1}^n C_n^i*i^2=n*(n+1)*2^{n-2}\)
  • \(\sum_{i=0}^n (C_n^i)^2=C_{2n}^n\)

线性代数

矩阵概念

\(X\) 阶矩阵：行数与列数都等于 \(n\) 的矩阵称为 \(n\) 阶矩阵或 \(n\) 阶方阵。

单位矩阵：主对角线上的元素都为 \(1\) ，其余元素均为 \(0\) 的 \(n\) 阶方阵称为 \(n\) 阶单位矩阵，记为 \(E\)。

逆矩阵：设 \(A\) 是一个 \(n\) 阶矩阵，若存在另一个 \(n\) 阶矩阵 \(B\) ，使得： \(A \times B = E\)

矩阵的迹：\(n \times n\) 矩阵 \(A\) 的对角元素之和称为矩阵A的迹( \(trace\) ),记作 \(tr(A)\)

特殊矩阵

• 稀疏矩阵
  当一个矩阵的绝大部分数值为零，且非零元素呈不规律分布时，则称该矩阵为稀疏矩阵（ \(Sparse\ Matrix\) ）
  与它相对的一个概念叫稠密矩阵，，那些非零数值占大多数元素的矩阵即是稠密矩阵（ \(Dense\ Matrix\) ）。

• 三角矩阵
  三角矩阵（ \(TriangularMatrix\) ）分为上三角矩阵和下三角矩阵。

  • 上三角矩阵（ \(UpperTriangularMatrix\) ）是指主对角线以下元素全为0的矩阵。
  • 下三角矩阵（ \(LowerTriangularMatrix\) ）是指主对角线以上元素全为0的矩阵。

• 对称矩阵
  对称矩阵（\(SymmetricMatrix\)）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。

矩阵的初等变换

• 交换两行或两列
• 用一个数 \(K\) 乘以某一行
• 用某个数乘以某一行

矩阵的加减乘和转置运算

矩阵的加减乘

• 加减法：对应的位置相加减

• 数乘：每个位置乘以常数

• 矩阵的转置运算：
  矩阵 \(A\) 的转置矩阵记为 \(A^T\)
  它是将 \(A\) 的第 \(j\) 行变为第 \(j\) 列，第 \(k\) 列变为第 \(k\) 行所得到的矩阵。

• 矩阵乘法
  理解：(与线性方程组之间的关系)

线性方程组的高斯消元法

• 线性方程组求解
• 异或方程组求解
• 与线性空间

题目

妖梦拼木棒

Tag: 组合数
注意数据范围，暴力枚举求解。

GCD

Tag: 欧拉函数
将数拆分表示，观察到互质性质，利用欧拉函数求解。

Devu and flowers

Tag: 容斥原理，组合数

容斥原理，配上可重集组合数，通过状态压缩技巧实现容斥。

矩阵求逆

Tag: 线性代数

球迷购票问题

Tag: 卡特兰数

数学作业

Tag: 矩阵乘法

按钮

Tag: 欧拉定理，阶的概念

裴蜀定理判断有无整数解，利用欧拉定理的性质2求解。

TROKUTI

Tag: 数学性质

斜率不同的三条线必定会构成一个三角形。
相同斜率归为一类，枚举每一个类，答案每次加上 \(cnt[currentK] \times cnt[smallerK] \times cnt[largerK]\)

因子和

Tag: 约数和定理

正整数 \(x\) 的所有约数的和为：
\(({p_1}^1+{p_1}^2+\dots+{p_1}^{c_1}) \times ({p_2}^1+{p_2}^2+\dots+{p_2}^{c_2}) \times \dots ({p_k}^1+{p_k}^2+\dots+{p_k}^{c_k})\)

最后计算时再用等比数列求和公式即可。

注意特判逆元不存在的情况。

火柴排队

Tag: 排序不等式

设有数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 按照升序排列。设 \(\{c_n\}\) 是 \(\{b_n\}\) 乱序排列构成的数列。

则有：

\(\sum_{i=1}^{n}{a_i\times b_{n-i+1}}\le \sum_{i=1}^{n}{a_i\times c_i}\le \sum_{i=1}^{n}{a_i\times b_i}\)

即顺序排列乘积和 大于等于乱序排列乘积和大于等于错序排列乘积和。

题目中的式子转化为 \(\sum_{i=1}^{n}({a_i}^2 + {b_i}^2)+2\times \sum a_i\times b_i\)

显然 \(\sum_{i=1}^{n}({a_i}^2 + {b_i}^2)\) 始终不改变。

故问题转化为刚刚的排序不等式 。

由 \(\{b_n\}\) 可以确定唯一对应的 \(\{a_n\}\)

然后求解 \(\{b_n\}\) 对应后的下标所构成的序列的逆序对即可。

[模板]扩展欧拉定理

Tag: 扩展欧拉定理

模板题。

前文欧拉定理的性质1。

方差

Tag: 基础数学，线段树

思路比较简单的一道题。

暴力展开需要求的方差的式子，容易发现，只需要维护区间平方和与区间和，线段树或树状数组维护即可。

约数研究

Tag: 整除分块

数据范围其实完全可以再大一点。

\(1\sim n\) 中共有 \(n/i\) 个 \(i\) 的倍数。

故 \(\sum_{i=1}^{n}f(n)=\sum_{i=1}^{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\)

整除分块的标准形式，\(O(\sqrt{n})\) 解决。

余数求和

Tag: 整除分块

容易得到：原式\(=k \times n-\sum_{i=1}^{n}{i\times \lfloor \frac{k}{i}\rfloor}\)

上整除分块。

对于每一块 \([l,r]\) 都有 \(\left[l+(l+1)+\dots +r\right]\times \lfloor \frac{k}{l}\rfloor=\frac{1}{2}\times (r-l+1)\times (l + r)\times \lfloor \frac{k}{l}\rfloor\)

就可以做了。

回首过去

形如 \(\frac{x}{y}\) 能表示为十进制有限小数形式，当且仅当 \(\frac{x}{y}\) 的最简分数形式的分母只含有质因子 \(2,5\)。

证明：设有一个分数 \(\frac{x}{y}\) 满足上述条件。

• 任意十进制有限小数都可以表示成 \(i \times 10^k,i、k\in \mathbb{Z}\) 的形式，\(i\) 做分子，\(10^k\) 做分母时，约分后显然可以表示成 \(\frac{x}{y}\) 的形式。

• 任意 \(\frac{x}{y}\) 也可以表示为 \(i\times 10^k\) 的形式。

综上所述，\(\frac{x}{y}\) 与十进制有限小数是一一对应的关系，于是命题得证。

思路：

将满足条件的分数表示为 \(\frac{b\times c}{a\times c}\)。

其中 \(a\) 只含有质因子 \(2,5\)，\(c\) 不含有质因子 \(2,5\)。

\(a、b、c\in \mathbb{Z}\) 且 \(a\times c \le n \&\& b\times c \le n\)

预处理出 \(a\)。

考虑枚举 \(c\)，然后 while 枚举满足 \(a\times c\le n\) 的 \(a\) 。由于 \(a\) 的个数始终单调递减，故每次 \(while\ a[cnt]\le \lfloor\frac{n}{c}\rfloor:cnt-1\)，\(cnt\) 即为 \(a\) 的个数。

对于每个这样的 \(a,c\)，\(b\) 有 \(\lfloor\frac{n}{c}\rfloor\) 种可能。于是 \(ans+\lfloor\frac{n}{c}\rfloor \times cnt\)。

但是 \(n\le 10^{12}\)。。。

设 \(f(x)\) 表示 \([1,x]\) 内 \(a\) 的个数。

将答案表示为 \(\sum_{c}{f(\lfloor\frac{c}{n}\rfloor)}\times \lfloor \frac{n}{c}\rfloor\)。

想到整除分块。但是 \(c\) 并不连续，所以每一块的 length 即为 \([l,r]\) 内 \(c\) 的个数。容斥 \(2,5\) 计算即可。

\(ans + length\times cnt\times \lfloor\frac{n}{c}\rfloor\)