（六）动态规划

基础动态规划

例 $1.1$：[NOIP2010 提高组] 乌龟棋 - 洛谷

记录 $f[i][j][k][l]$ 表示每种卡片用的个数即可，距离可以现算。

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例 $1.2$：[HAOI2006]数字序列 - 洛谷

开始想了个 $n*\max{a[i]}$ 的屑做法，只有 $27~\text{pts}$，评测记录 - 洛谷 。

正解：可以保留 $a[i]$ 和 $a[j]$ 的充分必要条件是 $a[j]-a[i]\ge j-i,(j>=i)$

移项得 $a[j]-j\ge a[i]-i$ ，设 $b[i]=a[i]-i$，问题一就转化为求 $b[i]$ 的最长不下降子序列。

对于第二问，设 $pre_i$ 表示 $b_i$ 由 $b_{pre_i}$ 转移而来。

$\mathrm{Lemma}:$ $b_i$ 和 $b_{pre_i}$ 存在一个分界点 $k$ 满足 $\forall j\in [b_{pre_i},b_k], b_j=b_{pre_i}$，$\forall l\in [b_{k+1},b_i],b_l=b_i$

证明：

考虑 $b_{pre_i}\to b_i$ 之间的赋值情况，一定可以被表示为台阶状。

对于 $cnt_{>b_i} > cnt_{<b_{pre_i}}$，可以将台阶向上移动到与下一个平齐。

对于 $cnt_{>b_i}<cnt_{<b_{pre_i}}$，可以将台阶向下移动到与上一个台阶平齐。

$Q.E.D$

枚举每个区间的 $k$，即可计算总代价。

具体实现时，给 $b$ 开头加一个极小值，末尾加一个极大值，即 $b[0]=-INF, b[n+1]=INF$

这样，即可对序列 $b$ 运用上述结论，否则对于 $b[1]$ 极大或 $b[n]$ 极小的情况就会出错。

调试惨烈（

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例 $1.3$：[SCOI2003]字符串折叠 - 洛谷

区间 $DP$，$f[i][j]=\min\left\{f[i][k] + f[k+1][j]\right\}$

考虑折叠的情况，枚举 $j-i+1$ 的约数，检验是否可以转移即可。

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例 $1.4$：[BalticOI 2008]选举 Easy - 洛谷

此题即为 $\displaystyle S-a_{\min}\le \frac{tot}{2}$ ，设 $f[i][j]$ 表示在前 $i$ 个中选择人数和为 $j$ 的党派是否可行。

设计转移方程为 $\displaystyle f[i][j] \mid = f[i][j-a[i]]~(j-a[i]\le \frac{tot}{2})$ 。事先将 $a[i]$ 排序即可满足题意条件：每次取出的 $a[i]$ 均为最小的。

压掉一维后，时间复杂度为 $O(nV)$ ，空间复杂度为 $O(n+V)$ 。

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例 $1.5$：[SCOI2009]粉刷匠 - 洛谷

设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 块木板，粉刷 $j$ 次的最大正确数，$G[i][j][k]$ 为第 $i$ 块模板前 $j$ 个格子，粉刷 $k$ 次所能达到的最大正确数。

于是 $f[i][j]=f[i - 1][j - l] + G[i][m][l]$ ，$G[i][j][k]=G[i][j-l][k-1]+Calc(l, j)$，转移即可。

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例 $1.6$：[CSP-J2020] 方格取数 - 洛谷

设 $up[i][j], down[i][j], left[i][j]$ 分别表示从上，下，左到点 $(i,j)$ 的最大点权。因为只能向右不能向左，于是以列为阶段，转移即可。

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例 $1.7$：[SCOI2007]压缩 - 洛谷

一开始拿到这道题的时候，以为和 [SCOI2003]字符串折叠 - 洛谷 是一样的。但是仔细思考（WA了两发）后发现，其实是不能嵌套的，因为每个 $R$ 只会与离他最近的 $M$ 产生关系。

考虑设 $dp[i][j][0]$ 表示 $[i,j]$ 之间没有 $M$ 的最短压缩长度，$dp[i][j][1]$ 表示 $[i,j]$ 之间有 $M$ 的最短压缩长度。

$dp[i][j][0] = \min\{dp[i][k][0]+j-k\}$ 。

$dp[i][j][1]=\min\{\min(dp[i][k][0],dp[i][k][1])+\min(dp[k+1][r][0],dp[k+1][r][1])+1\}$

注意到一个 $M$ 会把原序列分割为互不干扰的两段，于是枚举 $M$ 的出现位置就得到了 $dp[i][j][1]$ 的转移方程。

由于 $i-1$ 位置可以放 $M$，于是 $f[i][j][0]$ 还可以由 $1+f[i][mid][0]$ 转移得到，$\mathrm{iff}~s[l\to mid]=s[mid + 1\to r]$ 。

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例 $1.8$：垃圾陷阱 - 洛谷

首先按照时间排序是必须的。

设 $f[i][j]$ 表示在第 $i$ 个选择后，还剩 $j$ 点生命所能达到的最大高度。

有转移 $f[i][j]=\max(f[i-1][j+delta-duration[i]],t[i-1][j+delta]+height[i])$

注意转移边界问题。

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例 $1.9$：[BJOI2019] 排兵布阵 - 洛谷

小清新 $DP$ 题。设 $f[i][j]$ 表示考虑前 $i$ 个城堡，派出 $j$ 的兵力所能产生的最大收益，排序后转移即可。越来越顺手了呢。

写代码记得检查数组开的范围。

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例 $1.10$：不听话的机器人 - 洛谷

设 $f[i][x][y][k]$ 表示考虑前 $i$ 个指令·，目前在 $(x,y)$ 方向为 $k$ 的最少违背多少条指令，转移即可。

实现较为繁琐。

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树形 DP

例 $2.1$：[CTSC1997] 选课 - 洛谷

题意可以抽象为一个森林。

设 $f[i][j]$ 表示在以 $i$ 为根的子树中选出 $j$ 个能得到的最大学分。

不难发现，满足要求的就是一个与 $i$ 相连的连通块。

那么考虑前缀和优化：$f[i][j]=\max\{f[i][k] + f[son][j-k]\}$ 。其中 $f[i][j]$ 表示已经转移的子树的答案。转移边界即为 $f[i][1]=val[i]$ 。为防止后效性，交换一下枚举顺序和方向即可。

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例 $2.2$：ρars/ey - 洛谷

好像考察的是树形背包的上下界优化。不过我不懂，于是由于上下界没卡紧，导致第一次提交 $70pts$ 。

树形背包很好想，设 $f[i][j]$ 表示在以 $i$ 为根的子树内，保留大小为 $j$ 的块的最小代价，转移即可。

每次均为 $sz[x] * sz[y]$ 的，可以证明复杂度正确。

树上背包的上下界优化 - ouuan的博客

找了篇博客，上面有证明。

至于我为什么假了，可以参见 100pts 评测 - 洛谷 和 70pts 评测 - 洛谷 两次提交。

上下界一定要卡紧，最好采用 $f[i+j]=\dots f[i] + f[j]$ 这种写法，不容易挂上下界。

写的太丑了，重新放一个：评测记录 - 洛谷

例 $2.3$：重建道路 - 洛谷

又是一道树形背包，但是我却足足写了两个小时。

时间主要耗费在了写对拍用的暴力上，屡次对拍，挂的却是暴力，侧面反应代码能力不足。

暴力就应该思维清晰，一发冲过。

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例 $2.4$：[ZJOI2007] 时态同步 - 洛谷

将图看成以激发器 $S$ 为根的一棵树。

可以先若在以 $S$ 为根的树中时态同步，则在其任意一棵子树中，时态必定也同步。

考虑树形 $DP$：设 $F(x)$ 表示使以 $x$ 为根的子树时态同步所需的最小次数，$path(x)$ 表示时态同步时，从 $x$ 到叶子节点的路径长度。

再设 $MaxPath$ 表示未经操作时，$x$ 到叶子节点的最长路径。

容易得出转移方程：$F(x)=\sum_{son\in x}{F(son)}+\sum_{son\in x}{MaxPath-path(son)-edge(x,son)}$

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换根 DP

例 $2.5$：[POI2008] STA-Station

预处理以 $1$ 为根时的情况，每次转移考虑根节点由父节点变动到子节点带来的影响即可。

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例 $2.6$：[USACO10MAR] Great Cow Gathering G

与上一题相比，这道题带上了点权。转移时多考虑一些东西就行了。

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例 $2.7$：Centroids

树的重心的定义：一个有 $n$ 个节点的树，删去该节点过后，每个连通块的均小于 $\lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor$ 。

原操作其实可以看做子树的移接。

对于此题，以原树的重心为根预处理出子树大小。若一个节点 $x$ 经操作后能成为重心，则考虑除 $x$ 的子树外的所有节点，设最大不超过 $\lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor$ 的子树大小为 $S$，那么若 $n-S-sz[x]\le \lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor$，则 $x$ 能成为根节点，否则不行。

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计数 DP

例 $3.1$：[BJOI2017]机动训练

考虑平方的意义，即：两个人走相同的地形的方案数。

把情况分为 $4$ 类，即（右、上、右上），（左、上、左上）、（右、下、右下）、（左、下、左下）。发现只向单个方向走的情况会重复计算，最后减去即可。

$DP$ 转移顺序难以确定，采用记忆化搜索实现。

评测记录 - 洛谷

例 $3.2$：Vasya and Array

记 $f[i][j]$ 表示考虑前 $i$ 位，第 $i$ 位为 $j$ 的合法方案数。

设 $sf[i]=\sum\limits_{j=1}^{k}{f[i][j]}$，考虑如下容斥：

$f[i][j]=sf[i-1]-sf[i-len]+f[i-len][j]$。

$sf[i-len]$ 即令 $i-len+1\sim i$ 中的数均为 $j$ ，本来就有不合法的，重复减去的 $f[i-len][j]$（$i-len\sim i-1$ 均为 $j$） 加上即可。

评测记录 - 洛谷

单调队列优化 DP

例 $4.1$：切蛋糕 - 洛谷

前缀和过后问题就变成了对于每个 $i$，求 $\forall j\in [i-m,i-1]$ 使得 $pre[j]$ 最大。

于是就变成了一个可以由单调队列维护的问题。

评测记录 - 洛谷

例 $4.2$：Watching Fireworks is Fun - CF372C

典型的单调队列优化 $DP$。设 $f[i][j]$ 表示在第 $i$ 个烟花的时候，处于第 $j$ 个位置的最大值。

发现其可以由 $f[i-1][k], k\in [j-(d*\Delta t),j+(d*\Delta t)]$ 转移而来。

固定长度区间最值，单调队列优化即可。

评测记录 - CF

例 $4.3$：[POI2014]PTA-Little Bird - 洛谷

朴素 $DP$ 设 $f[i]$ 表示停留在 $i$ 时的最小劳累值。于是 $f[i]=\min\limits_{j\ge i-k}\left\{f[j]+(d[j]\le d[i])\right\}$

确定单调队列更新顺序，先 $pop$，再 $query$，再 $push$ 即可。

评测记录 - 洛谷

例 $4.5$：