组合日记

《具体数学》第五章的做题记录。

组合日记-九月十九日

范德蒙德卷积有关的组合恒等式

范德蒙德卷积:k(rnk)(sk)=(r+sn)

组合意义:有 r 个红球,s 个白球,从中选出 n 个球。相当于枚举 k,从 r 中选出 nk 个球,s 中选出 k 个点。

它能导出的恒等式:

  1. k(lm+k)(sn+k)=(l+sl+nm)

证明:这就是范德蒙德卷积的简单变形。

LHS=k(llmk)(sn+k)=(l+sl+nm)

  1. k(lm+k)(s+kn)(1)k=(1)l+m(smnl)

证明:

Lemma:(rk)=(1)k(kr1k)

LHS=k(1)k(lm+k)(s+ks+kn)=k(1)k(1)s+kn(lm+k)(n1s+kn)=k(1)sn(llmk)(n1s+kn)=(1)sn(ln1l+smn)=(1)sn(1)l+smn(l+smn(ln1)1l+smn)=(1)lm(sml+smn)=(1)l+m(smnl)

数学已放下太久,NOIP 日益临近,退役的日子越来越近,我们终将渐行渐远。

一枕黄粱梦太长,仰看此月光,当往事浮现恍然如梦一场。

mklzc2022.9.19

组合日记-九月二十日

二项式系数商的处理

k=0m(mk)(nk)=n+1n+1m

证明:

Lemma 1:(nm)(mk)=(nk)(nkmk)

Lemma 2:k=0n(r+kk)=(r+n+1n)

LHS=1(nm)k=0m(nkmk)=1(nm)mk0(n(mk)m(mk))=1(nm)k0(nm+kk)=(n+1m)(nm)=n+1nm+1

二项式定理的逆向运用

Lemma:(x+y)n=k=0n(nk)xkynk

i=1nj=1i(j1i1)(m1)jimn(ji)=1jnmnj1ij(j1i1)(m1)jimi=1j+1nmnj11i+1j+1(ji)(m1)jimi+1=0jn1mnj(2m1)j

又是一天过去了,模拟赛连一等奖的分数线都岌岌可危,这样下去,希望到底在哪里?

无法突破的思维壁垒,难以跨越的知识高墙。

mklzc2022.9.20

组合日记-九月二十一日

卡特兰数通项公式的生成函数推导

符号约定: C[i],[xi]C(x) 表示 C(x)xi 的系数。

C[0]=1,C[n]=n 对括号构成的的合法括号序列数。

C[n+1]=i=0nC[i]C[n+i][xn+1]C(x)=[xn]C(x)2C(x)1x=C(x)2C(x)=1±14x2x

因为 limx0C(x)=1,故 C(x)=114x2x

Lemma:14x=(14x)12=i=0(4x)i(12i)=i=0(2)1i1(2i2i)xi

[xn]xC(x)=[xn](114x2x)[xn1]C(x)=1n1(2n2n),(n1)C[n]=1n(2nn+1)=1n+1(2nn)

一个组合恒等式

k=0nk(mk1mn1)/(mn)

Proof:

LHS=1(mn)k=0n(m(mk))(mk1mn1)=1(mn)[mk=0n(mk1mn1)k=0n(mk)(mk1mn1)]=1(mn)[m(mmn)k=0n(mk)mnmk(mkmn)]=m1(mn)(mn)k=0n(mkmn)=mmn(mn)(m+1mn+1)=m(mn)m+1mn+1=nn+m1

Q.E.D

组合日记-九月二十二日

递推式的推导

Qn=k2n(2nkk)(1)k,nN+

试求 Q1000000

观察到 n 只以 2n 的形式出现过,设 m=2n

Qn=Rm=km(mkk)(1)k=km(m1kk)(1)k+km(m1kk1)(1)k=km1(m1kk)(1)k+(1m)(1)mk+1m(m2kk)(1)k=Rm1+(1m)(1)mkm2(m2kk)(1)k(1m1)(1)m1=Rm1Rm2+(1m)(1)m+(1m1)(1)m1=Rm1Rm2+(1)2m+(1)2(m1)=Rm1Rm2

考察 R 的前几项的值: R0=0,R1=1,R2=1

手玩可以得到:

{R0=0R1=1R2=1R3=0R4=1R5=1R6=0R7=1

观察发现,每六个数为一个循环节。

当然,考虑更严谨的证明:

Rm=Rm1Rm2=(Rm2Rm3)Rm2=Rm3=Rm6

这样 Qn=R2n 就可以很轻易的求出了。

组合日记-九月二十三日

成立条件

k(nk)(sk)k,nN

有点像 LINK1. 式。

Lemma1:(nk)=(nnk),nN

LHS=k(nk)(s1k1)s=sk(nnk)(s1k1)=s(n+s1n1)

式子推导很简单,可以说是易如反掌,但是为什么吸收系数 k 的是 (sk),而非 (nk) 呢?

关注式子的推导过程:运用了 Lemma1,而 Lemma1 仅在 nN+ 的时候成立。

若用 (nk) 吸收系数 k ,那么就涉及到了 n1 的正负问题,然而 n1 不一定是正的。

如上启发我们要关注式子推导过程中所运用恒等式的成立条件,同时可以发现,没有任何条件限制的组合恒等式是最有用的(整数意义下)。

如下列出了一些常用恒等式的成立条件:

{(nk)=(nnk),nN,kZ(nk)=(n1k1)nk,kZ,k0(nk)=(n1k1)+(n1k),kZ(nk)=(1)k(kn1k),kZ(nm)(mk)=(nk)(nkmk),k,mZk(nk)xkynk=(x+y)n,n0 orxy∣<1kn(m+kk)=(n+m+1n),nNkn(mk)=(m+1n+1),m,nNk(rk)(snk)=(r+sn),nZ

如上十个组合恒等式经常会用到,记住它们的成立条件是有意义的。

休对故人思故国,且将新火试新茶,诗酒趁年华。

组合日记-九月二十四日

前带系数的二项式系数的处理

k0(n+km+2k)(2kk)(1)kk+1

(n+km+2k) 的处理很巧妙。

Lemma 1:(nm)(mk)=(nk)(nkmk)Lemma 2:qkl(lkr)(q+ks)=(l+q+1r+s+1)

Lemma 2 Proof:

LHS=qkl(lklkr)(q+kq+ks)=qkl(1)lkr(1)q+ks(r1lkr)(s1q+ks)=(1)l+qrsqkl(r1lkr)(s1q+ks)=(1)l+qrs(rs2l+qrs)=(l+q+1l+qrs)=(l+q+1r+s+1)Q.E.D

Lemma 2 构造以 2k 为底的二项式系以应用 Lemma 1

=k0i=0n+k1(ni+k+12k)(im1)(2kk)(1)kk+1=i0(im1)0ki+1n(ni+k+12k)(2kk)(1)kk+1=i0(im1)0ki+1n(ni+k1k)(ni1k)(1)kk+1=i0(im1)1ni0ki+1n(ni+k1k)(nik+1)(1)k=i0(im1)1ni0ki+1n(ink)(ninik1)=i0(im1)1ni(0ni1)=i0(im1)1ni[i=n1]=(n1m1)

最后得到的是一个非常优美的形式。

组合日记-九月二十五日

CF1278F

答案即为:

i=0n(ni)pi(1p)niik

考虑化简:

Lemma1:ik=j(ij){kj}j!Lemma2:(nm)(mk)=(nk)(nkmk)

i=0n(ni)pi(1p)niik=i=0n(ni)pi(1p)nij(ij){kj}j!=j{kj}j!i=0n(ni)(ij)pi(1p)ni=j{kj}j!i=0n(nj)(njij)pi(1p)ni=j{kj}(nj)j!i=0n(njij)pi(1p)ni=j{kj}(nj)j!pji=0n(njij)pij(1p)ni=j{kj}(nj)j!pj=jmin(k,n){kj}(nj)j!pj

化简到这里,已经可以用 O(k2) 递推做掉这道题了。

然而还可以继续。

Lemma1 使用二项式反演得到:

i!{ki}=j(1)ij(ij)jk

继续刚才的推导。

=j=0min(n,k)(nj)pji=0j(1)ji(ji)ik=i=0min(n,k)ikj=imin(n,k)(ji)(nj)(1)jipj=i=0min(n,k)ik(1)i(ni)j=imin(n,k)(niji)(p)j=i=0min(n,k)ik(ni)pij=0min(n,k)i(nij)(p)j

考虑裂项求后面和式的递推式。

以下是 kn 的情况:

Ri=j=0ki(nij)(p)j=j=0ki(ni1j)(p)j+j=1ki(ni1j1)(p)j=Ri+1+(ni1ki)(p)ki+j=0ki1(ni1j)(p)j+1=Ri+1+(ni1ki)(p)ki+(p)j=0ki1(ni1j)(p)j=Ri+1pRi+1+(ni1ki)(p)ki

边界是 Rk=1

对于 n<k 的情况:Ri=(1p)Ri+1,Rn=1

综上所述:

Ans=i=0min(n,k)ik(ni)piRi

组合日记-九月二十六日

二项式系数中的 12

rk_(r12)k_=(2r)2k_22k,kN

将下降幂展开后交替书写,比较显然。

两侧同除以 k! 导出如下公式:

(1)(rk)(r12k)=(2r2k)(2kk)122k(2)(n12n)=(2nn)14n(3)(12n)=(14)n(2nn)

于是对于形如 (x+y)12 二项式展开后的情形,(2),(3) 给出了一种优美的处理方式。

如上两式还给出了系数如 4n(2kk) 的一种处理办法。

比如下面这个例子:

k(n2k)(2kk)22k=k(n2k)(n12k)=(n12n2)

还有一个非常优美的恒等式

k(2kk)(2n2knk)=k(4)k(12k)(4)nk(12nk)=(4)n(1n)=4n

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