（三）数据结构

线段树

普通线段树

我的线段树 $debug$（记录一下做题时犯的错误）：

1. 检查 $build$ 函数是否调用。$\to segmentation~fault$
2. 区间操作 $ql$ 是否有可能大于 $qr\to segmentation~fault$。
3. 结构体中元素初值问题（是否赋初值，懒标记初值是否与题目操作冲突）$\to$ 输出可能变得极大
4. 动态开点线段树记得建第一个点（坑死我啦 $\to$ 什么都有可能 $TLE,RE,segmentation~fault$
5. 线段树空间记得开 $4$ 倍（经典错误）$\to RE$
6. 检查各个部分的手误
7. 检查数据范围，数组是否开小 $\to RE$

多刷了几道题，学习到了一些维护数据的方法。

例题 $1.1$ ：区间方差 - 洛谷

这道题思路比较简单，就是将所求式子化简开来，转变成维护区间和与区间平方和即可。

评测记录 - 洛谷

例题 $1.2$：[TJOI2018]数学计算 - 洛谷

由于模数不一定为质数，所以逆元并不一定存在，故不能直接计算。

基于操作建立线段树维护乘积，根节点保存答案。

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例题 $1.3$：[SCOI2007] 降雨量 - 洛谷

离散化后，分讨 $x,y$ 的存在性即可，需要考虑的情况有点小多。

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例题 $1.4$：[HEOI2016/TJOI2016]排序 - 洛谷

二分答案，考虑 $check(mid)$ 函数的写法：

观察每次排序，它会把小于 $mid$ 的数放到一边，大于 $mid$ 的数放到另一边，于是上线段树区间修改。

考虑将小于等于 $mid$ 的数记为 $0$ ，大于 $mid$ 的数记为 $1$，

最后模拟完所有操作后，考察第 $q$ 位是否为 $0$ 即可。

二分的正确性分析：若当前理想解不成立，那么比它更小的解也不可能成立，二分正确。

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例题 $1.5$：小白逛公园 - 洛谷

区间最大子段和模板，维护区间 $lmax, rmax, sum, imax$ 转移即可。

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线段树优化建图

对于如一个点向区间连边的问题，由于边数过多，建图的复杂度直接爆炸，此时可以考虑线段树优化建图。

概述：

假设一个点 $x$ 要向一个区间 $[l,r]$ 连一条边权为 $w$ 的边，这个区间必然可以用线段树表示成不超过 $\log n$ 的小区间。

于是，将这个点向这些小区间的代表节点（虚拟节点）连边。那么就可以使所连的边数大大减少。

此外，从这些小区间到它们的子区间应连一条边权为 $0$ 的边，可以这样想象，能连到这个区间，必然也能连到它的子区间中的点。

例题 $1.6$：Legacy - 洛谷

对于这道题目，它既要求由点向区间连边，也要求区间向点连边。

考虑建立两棵线段树，分别维护入边和出边，第二棵线段树需要将父区间连向子区间的边反向。

对于操作 $1$ ，由线段树 $2$ 的叶子结点向线段树 $1$ 连边，操作 $2$ 反之。

然后就是最短路模板了。

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线段树的标记永久化

对于不支持懒标记下传的线段树而言，需要用到标记永久化的技巧。

标记永久化的前置条件：修改顺序不影响最后答案。

如果能正常 $pushdown$ 且满足上述条件，那么就可以进行标记永久化。

思路简述：

懒标记应该 $pushdown$ 时，按住不下放，在最后询问的时候考虑从根节点到询问区间的所有懒标记即可。

这样说可能不明晰，看个例子：

例 $2.1$：【模板】线段树 1 - 洛谷

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权值线段树

顾名思义，权值线段树是维护与值域相关信息的线段树。

举个例子，权值线段树的叶子维护有几个 $1,2$ ，它们的父亲节点维护有几个 $1$ 和 $2$ 。

可以武断地说，权值线段树维护的是值域上各个数的个数。

应用：权值线段树最广泛的应用就是解决整个数列的第 $k$ 大（小）的数，具体方法如下（以求第 $k$ 小数为例）：

权值线段树的父亲节点维护数的个数和，在查询时：如果左子区间的数的个数大于 $k$ 个，那么进入左子区间，否则进入右子区间。

思路比较简单，多配合其它知识一起考察，如线段树合并，可持久化线段树等。

例题：见例题 $4.2$ [HNOI2012]永无乡 - 洛谷。

线段树合并

前置知识：动态开点线段树

线段树合并常应用于树上问题，用于合并两棵线段树之间的信息。

前置条件：能够快速合并两个叶子结点。

合并过程：

合并分为两类：

1. 合并叶子结点的信息（单点合并）

2. 合并左右儿子的信息（区间合并）

如果当前两个节点有一个为空，$return$（空节点合并后信息不改变）。

否则新建一个节点，保存合并后线段树的信息。

继续递归，直到叶子结点或有一个为空，回溯时返回新建节点编号。

容易发现，合并的复杂度为两棵线段树重合的节点个数。

技巧：设被合并的线段树为 $seg_x$ 和 $seg_y$ ，如果被合并的线段树 $seg_y$ 的信息以后不会再用到，那么可以不用新建节点，而将信息直接合并到 $seg_x$ 的节点上。

例题 $4.1$：[Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并 - 洛谷

对于每个节点建立一棵线段树，配合树上差分修改，最后向上合并线段树即可。

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例题 $4.2$：[HNOI2012]永无乡 - 洛谷

裸的线段树合并。

一个套路：并查集维护连通性，每次操作就只用在并查集的代表元素之间。

这样对于每个点开一棵权值线段树，对于每个操作合并代表元素即可。

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例 $4.3$：[NOIP2016 提高组] 天天爱跑步

将每次修改分两段处理，查询时查询 $dep+w$ 的值即可。

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