[ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子

对偶图

前置知识：

平面图：无向图 \(G\) 若可以画在一个平面上，且其中没有任何边的交叉，则称图 \(G\) 是一个平面图。

图的面：在平面上划分出的区域称为一个面。

割边：如果去掉割边后，该边所在的图会被分成两部分。

对偶图的概念：

设 \(G\) 是平面图，在图 \(G\) 的每个面中指定一个新结点，对于两个面公共的边，指定一条新边与其相交。由这些新结点和新边组成的图称为 \(G\) 的对偶图 \(G^*\) 。

构造方法：

给定平面图 \(G\)，可以用如下方法构造出 \(G\) 的对偶图 \(G^*\)：

1. 在 \(G\) 中的每一个面 \(f_i\) 中任取一个结点 \(v_i\) 作为 \(G^*\) 的结点

2. 若边 \(e_k\) 是 \(G\) 中两个面（\(f_i, f_j\)）的公共边，则连接 \(f_i,f_j\) 使与 \(e_k\) 相交。

3. 若边 \(e_k\) 仅是 \(f_i\) 的边界，则以 \(f_i\) 为结点构造环与 \(e_k\) 相交。

对偶图的性质：

1. 若 \(G^*\) 是 \(G\) 的对偶图，那么 \(G\) 也是 \(G*\) 的对偶图。

2. 对偶图必定联通。

3. \(G\) 中的割边对应 \(G^*\) 中的环，\(G\) 中的自环对应 \(G^*\) 中的割边。

4. 定理：对平面图来说最大流 \(=\) 最小割 \(=\) 对偶图最短路。

证明：（证明从略）

平面图上最小割：断掉边权和尽量小的边使得给定的两个点不连通。

考虑断掉一条边，在对偶图上必定对应一条边，于是有平面最小割 \(=\) 对偶图最短路。

本题思路

有了上面的知识，本题易如反掌。

题意即为割断路径使得 \((1,1)\) 和 \((n,m)\) 不连通。

构造对偶图然后跑最短路即可。

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