prufer序列

prufer序列

$prufer$ 序列是无根树的序列化表示，有标号的无根树与长度为 $n-2$ 的 $prufer$ 序列构成双射。

构造方法

将度数为 $1$ 的节点定义为叶子节点。

对于一棵有标号的无根树，构造一个 $prufer$ 序列：

1. 找到编号最小的一个叶子节点，记为 $x$ ，将与 $x$ 相连的节点记为 $y$ 。

2. 删去 $x$ ，将 $y$ 节点加入 $prufer$ 序列。

3. 重复 $1,2$ 操作，直到树中只剩下两个节点为止。

对于一个 $prufer$ 序列，构造一棵无根树：

设未在 $prufer$ 序列中出现的点构成的点集为 $S$

1. 取出 $prufer$ 序列中第一个元素 $x$，找到 $S$ 中编号最小的点记为 $y$ 。

2. 将 $x$ 与 $y$ 连边，在 $prufer$ 序列中删除 $x$ 。

3. 重复 $1,2$ 操作直到 $prufer$ 序列为空。

prufer 序列的一些性质

• 对于树中的一个节点 $x$ ，它在 $prufer$ 序列中出现的次数 $=$ 它的度数 $-1$ 。

  证明从略：

  每删去一个与 $x$ 相连的节点时，$x$ 便会在 $prufer$ 序列中出现一次，

  而删去 $x$ 的时候，它必定也只会与一个节点相连，于是 $x$ 在 $prufer$ 序列中出现的次数就是度数 $-1$ 。

具体实现可以采用 $set$ 维护最小值，时间复杂度 $O(n\log n)$

也可以用指针维护：时间复杂度 $O(n)$。

不过 $prufer$ 序列的主要作用不在于如何构造或还原一棵树，它的主要应用在于对无标号图的组合计数。

题目：[HNOI2004]树的计数 - 洛谷

题解：树的计数