prufer序列

prufer序列

\(prufer\) 序列是无根树的序列化表示，有标号的无根树与长度为 \(n-2\) 的 \(prufer\) 序列构成双射。

构造方法

将度数为 \(1\) 的节点定义为叶子节点。

对于一棵有标号的无根树，构造一个 \(prufer\) 序列：

1. 找到编号最小的一个叶子节点，记为 \(x\) ，将与 \(x\) 相连的节点记为 \(y\) 。

2. 删去 \(x\) ，将 \(y\) 节点加入 \(prufer\) 序列。

3. 重复 \(1,2\) 操作，直到树中只剩下两个节点为止。

对于一个 \(prufer\) 序列，构造一棵无根树：

设未在 \(prufer\) 序列中出现的点构成的点集为 \(S\)

1. 取出 \(prufer\) 序列中第一个元素 \(x\)，找到 \(S\) 中编号最小的点记为 \(y\) 。

2. 将 \(x\) 与 \(y\) 连边，在 \(prufer\) 序列中删除 \(x\) 。

3. 重复 \(1,2\) 操作直到 \(prufer\) 序列为空。

prufer 序列的一些性质

• 对于树中的一个节点 \(x\) ，它在 \(prufer\) 序列中出现的次数 \(=\) 它的度数 \(-1\) 。

  证明从略：

  每删去一个与 \(x\) 相连的节点时，\(x\) 便会在 \(prufer\) 序列中出现一次，

  而删去 \(x\) 的时候，它必定也只会与一个节点相连，于是 \(x\) 在 \(prufer\) 序列中出现的次数就是度数 \(-1\) 。

具体实现可以采用 \(set\) 维护最小值，时间复杂度 \(O(n\log n)\)

也可以用指针维护：时间复杂度 \(O(n)\)。

不过 \(prufer\) 序列的主要作用不在于如何构造或还原一棵树，它的主要应用在于对无标号图的组合计数。

题目：[HNOI2004]树的计数 - 洛谷

题解：树的计数