数学知识总结（二）

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初等数论

阶，原根和指数

阶

若对于 \(n\in \mathbb{N}^{+}, n\neq 1, a\in \mathbb{Z}，\) 满足 \(gcd(a, n) = 1\)。

则必定 \(\exists r\in \mathbb{N}^{+}, \mathrm{ s.t.\ } a^r\equiv 1\pmod n\)

满足 \(a^r\equiv 1\pmod n\) 的最小 \(r\) 称为 \(a\) 模 \(r\) 的阶。

对于 \(\forall b\in \mathrm{N}^{+}\) 满足 \(a^b\equiv 1\pmod n\)，都有 \(r\mid b\)。

特别地，

• 由欧拉定理知，\(r\mid \phi(n)\)
• 当 \(n\) 为质数时，由费马小定理知：\(r\mid n-1\)

原根

定义

设 \(m\) 是正整数，\(a\) 是整数，若 \(a\) 模 \(m\) 的阶等于 \(\varphi(m)\)，则称 \(a\) 为模 \(m\) 的一个原根。

判定

显然，不是任何数都有原根。

正整数有原根的充要条件为：

它能表示为下列形式之一：\(2,4,p^n,2\times p^n\)，其中 \(p\) 为奇素数。

BSGS

完全数

狄利克雷卷积

数论函数: 定义域为正整数的函数。

积性函数: 积性函数指对于所有互质的整数 \(a\) 和 \(b\) 有性质 \(f(a\times b)=f(a)\times f(b)\) 的数论函数。

完全积性函数: 对于任意的整数 \(a\) 和 \(b\) 有 \(f(a\times b) = f(a) \times f(b)\)

狄利克雷卷积是定义在数论函数间的一种二元运算。

对于两个数论函数 \(f,g\)，

定义它们的狄利克雷卷积为：\((f*g)(n)=\sum_{x\times y=n}{f(x)\times g(y)}\)

一般写为：\((f*g)(n)=\sum_{d\mid n}{f(d)\times g(\frac {n}{d})}\)

两个数论函数的狄利克雷卷积是一个新函数。

积性函数的性质

设 \(f(x)\) 是一个积性函数，则有：

\(\mathbf{f(1)=1}\)：由 \(f(1)=f(1)\times f(1)\) 可知。

\(\mathbf{}\)

常见的数论函数

元函数

\(e(x)=[x=1]\)

当 \(n=1\) 时，函数值为 \(1\)，否则为 \(0\)。

被称作元函数是因为它是卷积的单位元：\(e*g=g\)。

欧拉函数

\(\varphi(x)\) 模 x 域下的简化剩余系大小。

除数函数

\(\sigma_{k}(x)~=~\sum_{d \mid x} d^k\)

特别地：

当省略 k 时，\(\sigma(x)\) 默认为 \(\sigma_{1}(x)\)

• \(k=1\) 时表示 \(x\) 的因子之和。
• \(k=0\) 时表示 \(x\) 的因子个数。

性质: \(\sigma_{k}(x)\) 都是积性函数，但不是完全积性。

莫比乌斯函数

设 x 由算数基本定理表示为 \(p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~\dots~p_k^{c_k}\)。

\( \mu(x)~=~\begin{cases} 1 &x=1 \\ (-1)^m &\forall i\in[1,k],c_i=1 \\ 0 &\forall i\in [1,k],c_i\neq 1\end{cases} \)

显然 \(\mu(x)~=~\prod_{i=1}^k \mu(p_{i}^{c_i})\)。

于是可以得到莫比乌斯函数是一个积性函数。