【做题笔记】CF1288C Two Arrays
Problem
题目大意：
构造两个长度为 \(m\)，值域为 \(n\) 的序列 \(a,b\)，满足 \(a\) 单调不降，\(b\) 单调不升，且 \(\forall i \in [1,m],a_i \le b_i\)，求合法方案数。
Solution
提供一种 \(O(n)\) 做法。
发现有这样三条性质：
- \(a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le a_m\)
- \(b_1 \ge b_2 \ge b_3 \ge \cdots \ge b_m\)
- \(a_m \le b_m\)
于是有：
\[a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le a_n \le b_m \le b_{m-1} \le b_{m-2} \le \cdots \le b_1
\]
也就是说，我们把 \(b\) 翻转一下接到 \(a\) 后面，原问题就转化成了求长度为 \(2m\)，值域为 \(n\) 的单调不降序列的个数。
这个问题与“将 \(2m\) 个相同的元素放到 \(n\) 个集合中，允许有集合为空的方案数”双射。
上面这个问题显然可以用插板法解决，答案为 \(\binom{2m+n-1}{n-1}\)。
上面这个式子可以直接 \(O(n)\) 预处理阶乘和阶乘的逆元，然后就做完了。
