【做题笔记】UVA10162 Last Digit

Problem

UVA10162 Last Digit

题目大意：

求 \(1^1+2^2+3^3+\cdots+n^n\) 的最后一位​。其中 \(1 \le n \le 2 \times 10^{100}\)​。

Solution

其实是个简单的找规律题 QwQ。

我们不妨设 \(S(k)=\sum\limits_{i=1}^k i^i\)。那么答案就是 \(S(n)\)。
先给出结论：\(S(k)=S(k \bmod 100)\)。

首先，我们可以通过打表或在 uDebug 上输数据发现，\(S(100)=0\)​。
然后，对于每一个大于 \(100\)​ 的数 \(k\)​，我们可以将其表示为 \(100a+b\)​ 的形式。题目求最后一位，其实就是对 \(10\) 取模。
那么：

\[k^k=(100a+b)^{100a+b} \equiv b^{100a+b} \pmod{10} \]

同样的道理，我们也可以对 \(b\)​​ 拆解，设 \(b=10c+d\)​​，那么：

\[b^{100a+b} \equiv b^{(100a+b) \bmod 4 + 4} \equiv (10c+d)^{d+4} \equiv d^{d+4} \equiv d^{(d+4) \bmod 4+4} \equiv d^d \pmod{10} \]

又因为是在模 \(10\) 意义下，也就是取个位，所以 \(k^k \equiv d^d \equiv b^b \pmod{10}\)。

所以我们只要预处理出 \(S(0),S(1),S(2),\cdots,S(99)\)，然后对于每次读入取末两位即可。

Code

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100];
string n;
int power(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%10;
		a=a*a%10;
		b>>=1;
	}
	return ans%10;
}
int main()
{
	for(int i=1;i<100;i++) a[i]=(a[i-1]+power(i,i))%10;
	while(cin>>n&&n!="0")
		if(n.length()<2) printf("%d\n",a[(n[0]-'0')]);
		else printf("%d\n",a[(n[n.length()-2]-'0')*10+n[n.length()-1]-'0']);
	return 0;
}