【做题记录】洛谷P6862 [RC-03] 随机树生成器

Problem

洛谷P6862 [RC-03] 随机树生成器

题目大意：

有 \(T\) 组数据。
有一个随机树生成器，对于给定的 \(n\)，会生成一棵 \(n\) 个点的有根树。其中，第 \(i\) 个点（\(1 < i\)）等概率选取 \([1,i)\) 中的某个点作为父亲。给定 \(n,k\)，问所有可能生成的树中，\(k\) 号点的度数之和。

Solution

我们首先考虑一共能生成几棵树。显然，对于第 \(i\)​ 个点（\(i>1\)），他能选择 \(i-1\)​ 个父亲。根据乘法原理，一共 \(n\)​ 个点，所以能生成的树的个数为：

\[\prod\limits_{i=2}^n i-1 = \prod\limits_{i=1}^{n-1} i \]

对于每棵树，若 \(k \not= 1\)，那么他将有一个父亲贡献 \(1\) 的度。并且对于每个 \(k < i \le n\)，他们都有 \(\dfrac{1}{i-1}\) 的概率选择 \(k\) 做为父亲贡献 \(1\) 的度。
所以对于给定的 \(n,k\)，答案为：

\[\prod\limits_{i=1}^{n-1} i \times \sum\limits_{i=k+1}^n \dfrac{1}{i-1} + [k \not= 1] \times \prod\limits_{i=1}^{n-1} i \\ = \prod\limits_{i=1}^{n-1} i \times \sum\limits_{i=k}^{n-1} \dfrac{1}{i} + [k \not= 1] \times \prod\limits_{i=1}^{n-1} i \]

观察到 \(T \times n\)​​ 很大，所以我们要预处理出逆元的前缀和与阶乘。然后就可以 \(O(1)\) 回答询问了。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=1e9+9;
int T,n,k,fac[10000005],inv[10000005];
int main()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=1e7;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=1e7;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=1;i<=1e7;i++) inv[i]=(inv[i-1]+inv[i])%mod;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		int ee=(inv[n-1]-inv[k-1]+mod)%mod;
		printf("%lld\n",(1ll*fac[n-1]*ee%mod+(k!=1)*fac[n-1])%mod);
	}
	return 0;
}