高斯消元法&高斯-约旦消元法

高斯消元法和高斯-约旦消元法都是用来解形如

\[\left\{\begin{matrix} a_{1,1} x_1 & + & a_{1,2} x_2 & + & \cdots & + & a_{1,n} x_n & = & b_1 \\ a_{2,1} x_1 & + & a_{2,2} x_2 & + & \cdots & + & a_{2,n} x_n & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & = & \vdots \\ a_{n,1} x_1 & + & a_{n,2} x_2 & + & \cdots & + & a_{n,n} x_n & = & b_n \\ \end{matrix}\right.\]

的方程的解的。

两个算法的比较

	高斯消元法	高斯-约旦消元法
有无回代	有	无
可否判无解和无穷解	可	不可

也就是说，普通的高斯消元法需要回代，代码比较繁琐，但可以分辨无解和无穷解；而高斯-约旦消元法则不需要回代，代码较简洁 （其实都挺简洁的） 但在它眼里无解和无穷解莫得区别。

前置芝士

都是七下数学书里的东西~

代入消元法

简称代入法
比如说，我们有方程组\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c \\ y=dx+e \\ \end{matrix}\right.\)，其中 \(a,b,c,d,e\) 都是常数。那么，我们就可以把 \(dx+e\) 代入到第一个方程，得到方程 \(ax+b(dx+e)=c\)，然后求解。
多元一次方程组同理

加减消元法

简称加减法
又比如说，我们有另一个方程组\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c \\ ax+dy=e \\ \end{matrix}\right.\)，\(a,b,c,d,e\)依然都是常数。那么，我们就可以把上式减下式（或下式减上式）得到方程 \(by-dy=c-e\)，然后求解。
又或者，再拿出来一个方程组\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c \\ -ax+dy=e \end{matrix}\right.\)，\(a,b,c,d,e\)都是常数，那么，我们就可以把上式加下式，得到方程 \(by+dy=c+e\)，然后求解。
多元一次方程组同理

普通高斯消元法

原理

以一个三元一次方程组为例。

\[\left\{\begin{matrix} 3x+2y+z=10 \\ 5x+y+6z=25 \\ 2x+3y+4z=20 \\ \end{matrix}\right.\]

我们以 \(x,y,z\) 的顺序一个个消，先消 \(x\)。
首先我们随便拎一个方程出（一般拎要消的元的系数的绝对值最大的那个方程，这样可以减小精度损失（然鹅我并不知道为什么QwQ））：

\[5x+y+6z=25 \]

我们要保留 \(5x\)，然后把另外的方程中的 \(x\) 的系数变为 \(0\)。
使用加减法。
先拿①式减②式（我们拎出来的那个） \(\times \frac{3}{5}\)（这样才能消去 \(x\)）：

\[(3-\frac{3}{5} \times 5)x + (2-\frac{3}{5} \times 1)y + (1-\frac{3}{5} \times 6)z = 10 - \frac{3}{5} \times 25 \]

得到

\[0x+\frac{7}{5}y+(-\frac{13}{5})z=-5 \]

再把这个方程作为新的①式。
然后再以同样的方法消③式，得

\[\left\{\begin{matrix} 0x+\frac{7}{5}y+(-\frac{13}{5})z=-5 \\ 5x+y+6z=25 \\ 0x+\frac{13}{5}y+\frac{8}{5}z=10 \\ \end{matrix}\right.\]

---

接着，再消 \(y\)，拎出③式，然后减一减（②式不用减），得

\[\left\{\begin{matrix} 0x+0y+(-\frac{225}{65})z=-\frac{135}{13} \\ 5x+y+6z=25 \\ 0x+\frac{13}{5}y+\frac{8}{5}z=10 \\ \end{matrix}\right.\]

---

这时，我们发现①式只剩下 \(z\) 了，于是我们可以解出

\[z=3 \]

然后代入③式，就可以解得

\[y=2 \]

再把它们代入②式，解得

\[x=1 \]

形式化过程

上面的过程是不是显得杂乱无章？
那么让我们把他形式化。
先找到 \(x\) 的系数的绝对值最大的方程，放到最前面

\[\left\{\begin{matrix} 5x+y+6z=25 \\ 3x+2y+z=10 \\ 2x+3y+4z=20 \\ \end{matrix}\right.\]

用它消掉下面的式子的 \(x\)

\[\left\{\begin{matrix} 5x+y+6z=25 \\ 0x+\frac{7}{5}y+(-\frac{13}{5})z=-5 \\ 0x+\frac{13}{5}y+\frac{8}{5}z=10 \\ \end{matrix}\right.\]

---

解的过程中如果拎出来的式子要消的元为 \(0\)，则无解或有无穷解（因为拎出来的方程的元的系数的绝对值已经最大了还是 \(0\)，所以其他的也就都是 \(0\) 了（感性理解下QwQ？））

---

然后再找到剩下的方程中 \(y\) 的系数的绝对值最大的那个，提上来

\[\left\{\begin{matrix} 5x+y+6z=25 \\ 0x+\frac{13}{5}y+\frac{8}{5}z=10 \\ 0x+\frac{7}{5}y+(-\frac{13}{5})z=-5 \\ \end{matrix}\right.\]

然后消掉它下面的式子的 \(y\)

\[\left\{\begin{matrix} 5x+y+6z=25 \\ 0x+\frac{13}{5}y+\frac{8}{5}z=10 \\ 0x+0y+(-\frac{225}{65})z=-\frac{135}{13} \\ \end{matrix}\right.\]

---

然后一步步代入，解方程。
最后这一步我们把它叫做回代

代码实现

代码实现又有些不同。
上面的介绍中是在最后才把系数化为 \(1\) 的，但实际上，我们在选好方程的时候，就可以把系数化为 \(1\) 了，这样还可以减少码量。

//n表示未知数的数量
//a[i][j]代表第i个方程中第j个未知数的系数（其实和开头给出的格式一样啦~），特殊的，a[i][n+1]表示等式的右边
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int res=i;
		for(int k=i+1;k<=n;k++)
			if(Abs(a[k][i])>Abs(a[res][i])) res=k;
		for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[res][j]);
		if(a[i][i]==0){puts("No Solution");return 0;}
		for(int j=i+1;j<=n+1;j++) a[i][j]/=a[i][i];
		a[i][i]=1;
		for(int k=i+1;k<=n;k++)
		{
			for(int j=i+1;j<=n+1;j++) a[k][j]-=a[k][i]*a[i][j];
			a[k][i]=0;
		}
	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
		for(int k=i+1;k<=n;k++)
			a[i][n+1]-=a[i][k]*a[k][n+1];

判无解还是无穷解

在回代完后扫一遍，如果遇到 \(a_{i,i}=0\) 而 \(a_{i,n+1}=0\) 则有无穷解，如果遇到 \(a_{i,i}=0\) 而 \(a_{i,n+1} \not= 0\) 则无解。
注意，如果一个方程无解则整个方程组都无解，所以要先判无解再判无穷解。
不过好像还是会被某些毒瘤数据卡掉的说
所以要打压这种毒瘤题！

高斯-约旦消元法

原理

\[\left\{\begin{matrix} 3x+2y+z=10 \\ 5x+y+6z=25 \\ 2x+3y+4z=20 \\ \end{matrix}\right.\]

还是这个方程组为例。
我们也保留要消的元的系数绝对值最大的那个方程，然后排下顺序就是

\[\left\{\begin{matrix} 5x+y+6z=25 \\ 2x+3y+4z=20 \\ 3x+2y+z=10 \\ \end{matrix}\right.\]

（注意本来 \(z\) 系数最大应该是 \(5x+y+6z=25\) 的，但是他被 \(x\) 抢走了）

我们先消 \(x\)。
首先我们把选出的方程 \(5x+y+6z=25\) 的 \(x\) 的系数化为 \(1\)：

\[x+\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}z=5 \]

然后呢，把所有的方程都与它相减使其 \(x\) 的系数变为 \(1\)，也是拿一个式子减这个式子乘多少多少，就不细讲了：

\[\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}z=5 \\ 0x+\frac{13}{5}y+\frac{8}{5}z=10 \\ 3x+2y+z=10 \\ \end{matrix}\right.\]

\[\Downarrow \]

\[\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}z=5 \\ 0x+\frac{13}{5}y+\frac{8}{5}z=10 \\ 0x+\frac{7}{5}y+(-\frac{13}{5}z)=-5 \\ \end{matrix}\right.\]

然后消 \(y\)。

\[\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}z=5 \\ 0x+y+\frac{8}{13}z=\frac{50}{13} \\ 0x+\frac{7}{5}y+(-\frac{13}{5}z)=-5 \\ \end{matrix}\right.\]

注意除了选择的那个方程，要把其他所有的方程的 \(y\) 的系数都变成 \(0\) 哦。

\[\left\{\begin{matrix} x+0y+\frac{70}{65}z=\frac{275}{65} \\ 0x+y+\frac{8}{13}z=\frac{50}{13} \\ 0x+\frac{7}{5}y+(-\frac{13}{5}z)=-5 \\ \end{matrix}\right.\]

\[\Downarrow \]

\[\left\{\begin{matrix} x+0y+\frac{70}{65}z=\frac{275}{65} \\ 0x+y+\frac{8}{13}z=\frac{50}{13} \\ 0x+0y+(-\frac{225}{65}z)=-\frac{135}{13} \\ \end{matrix}\right.\]

最后消 \(z\)：

\[\left\{\begin{matrix} x+0y+\frac{70}{65}z=\frac{275}{65} \\ 0x+y+\frac{8}{13}z=\frac{50}{13} \\ 0x+0y+z=3 \\ \end{matrix}\right.\]

\[\Downarrow \]

\[\left\{\begin{matrix} x+0y+0z=1 \\ 0x+y+0z=2 \\ 0x+0y+z=3 \\ \end{matrix}\right.\]

于是就能得到答案：

\[x=1,y=2,z=3 \]

所以和普通高斯消元比起来，高斯-约旦消元真的方便好多

代码实现

然鹅实现起来好像差不多（（（

//n表示未知数的数量
//a[i][j]代表第i个方程中第j个未知数的系数（其实和开头给出的格式一样啦~），特殊的，a[i][n+1]表示等式的右边
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int res=i;
		for(int k=i+1;k<=n;k++)
			if(Abs(a[k][i])>Abs(a[res][i])) res=k;
		for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[res][j]);
		if(a[i][i]==0){puts("No Solution");return 0;}
		for(int j=i+1;j<=n+1;j++) a[i][j]/=a[i][i];
		a[i][i]=1;
		for(int k=1;k<=n;k++)
			if(k!=i)
			{
				for(int j=i+1;j<=n+1;j++) a[k][j]-=a[k][i]*a[i][j];
				a[k][i]=0;
			}
	}