扩展欧几里得算法(exgcd)

扩展欧几里得算法，是用来求形如

\[ax+by=c \]

的不定方程的整数解的。

判断是否有整数解

根据裴蜀定理，若 \(gcd(a,b) \mid c\)，则一定有整数解，否则一定无解。

证明

设 \(d=gcd(a,b)\)，显然有 \(d \mid a,d \mid b\)。由于 \(x,y\) 都是整数，所以 \(d \mid (ax),d \mid (by)\)。
所以如果要让式子成立，\(c\) 必须得是 \(a,b\) 的公约数的倍数才对。
又因为 \(x,y\) 是整数，所以 \(c\) 必须是 \(a,b\) 的最大公约数的倍数才行。
实在看不懂的话感性理解下吧awa

转化

让方程两边同除以 \(gcd(a,b)\)，可以得到方程

\[a'x+b'y=c' \]

其中

\[a'=a \times \frac{gcd(a,b)}{c},b'=b \times \frac{gcd(a,b)}{c},c'=c \times \frac{gcd(a,b)}{c}=gcd(a,b) \]

后面求特解中提到的方程均为转化后的方程，即后面方程中的 \(a\) 就是 \(a'\)，\(b\) 就是 \(b'\)

求解

求特解

由欧几里得算法可知，\(gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)\)
于是，我们可以得到

\[bx'+(a \bmod b)y'=gcd(b,a \bmod b) \]

接下来我们就要根据 \(x',y'\) 来反推 \(x,y\)。
因为 \(gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)\)，所以

\[ax+by=bx'+(a \bmod b)y' \]

我们把右边的式子变形一下：

\[bx'+(a \bmod b)y' \]

\[=(a-b\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor)y'+bx' \]

\[=ay'+bx'-b\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y' \]

\[= ay'+b(x'-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y') \]

所以，\(x=y',y=x'-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y'\)。
于是我们只要向欧几里得算法那样递归，就能得到一组特解了。
但还有一个问题，就是递归边界。
递归边界显然是 \(b=0\) 的情况，而此时的方程就变为：

\[ax+by=ax=gcd(a,0)=a \]

所以此时 \(x=1\)，\(y\) 是任意整数。

求解过程用代码写出来就是这个亚子：

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;//y可以是任意整数，这里我们让他等于0也可以
		return a;
	}
	const ll m=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return m;
}

但是但是，这求的是

\[ax+by=gcd(a,b) \]

的解呀。不是我们要的解。
因为我们在转化时让方程两边都除以 \(\frac{c}{gcd(a,b)}\)，所以现在要乘回来：

\[x=x \times \frac{c}{gcd(a,b)},y=y \times \frac{c}{gcd(a,b)} \]

求通解

这里我们设之前求出来的通解为 \(x_0,y_0\)。
设 \(d=gcd(a,b)\)
则通解

\(x=x_0+\frac{b}{d} \times t,y=y0-\frac{a}{d} \times t\)

t是任意整数。
为什么是这样呢？
显然我们需要满足

\[ax+by=c \]

把 \(x,y\) 拆开来：

\[a(x_0+n)+b(y_0-m)=c \]

于是就有

\[an-bm=0 \]

又因为 \(n,m\) 必须是整数，所以只有上面说的那个可以满足要求了。

求最小正整数解

这里指 \(x\) 是最小正整数。
当我们求出一组特解后，最小正整数解即

\[x=(x_0\%\frac{b}{d}+\frac{b}{d})\%\frac{b}{d},y=(c-ax)/b \]

上面的式子用的是 C++ 语法。
求最小正整数解惯用手法，这里不再累述。