【做题记录】CF194B Square

Problem

CF194B Square

Solution

这是一道比较有趣的数学题。
我们设结果为 \(x+1\)，为什么 \(+1\) 呢？为的是后面好计算。这里加的 \(1\) 是最开始放的那个。
容易看出题意就是从 \(0\) 开始，每次加 \(n+1\) 再对 \(4n\) 取模，直到变成 \(0\) 为止。问这样的操作要几次。于是可以列出下面这个方程：

\[x(n+1) \equiv 0 \pmod{4n} \]

\[xn+x \equiv 0 \pmod{4n} \]

到这里好像没有头绪了……
可以想到结果应该是和 \(4\) 有关的，于是我们可以分类讨论下。

（由于题目要求，算出来的都是最小正整数解，所以下面直接用 \(=\) 了QAQ）

当 \(n \equiv 0 \pmod 4\) 时，显然

\[xn \equiv 0 \pmod{4n} \]

所以 \(x \equiv 0 \pmod{4n}\)，容易得到

\[x=4n \]

当 \(n \equiv 1 \pmod 4\) 时，可以像上面那样算出 \(x+x \equiv 0 \pmod{4n}\)，所以又可以得到

\[2x=4n \]

\[x=2n \]

当 \(n \equiv 2 \pmod 4\) 时，又可以得到 \(2x+x \equiv 0 \pmod{4n}\)，此时可以得到

\[x=\frac{4}{3}kn \]

显然题目要让 \(k\) 尽量小且结果为正整数，所以 \(k=3\)，于是就能得到

\[x=4n \]

当 \(n \equiv 3 \pmod 4\) 时，可以得到

\[3x+x \equiv 0 \pmod{4n} \]

\[x \equiv 0 \pmod n \]

\[x=n \]

整理一下就是：

• 当 \(n \bmod 4=0\)时，\(ans=4n+1\)
• 当 \(n \bmod 4=1\)时，\(ans=2n+1\)
• 当 \(n \bmod 4=2\)时，\(ans=4n+1\)
• 当 \(n \bmod 4=3\)时，\(ans=n+1\)

\(ans\) 表示题目要求的答案。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long T,n;
int main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		switch(n%4)
		{
			case 0:printf("%lld\n",4*n+1);break;
			case 1:printf("%lld\n",2*n+1);break;
			case 2:printf("%lld\n",4*n+1);break;
			case 3:printf("%lld\n",n+1);break;
		}
	}
	return 0;
}