中国剩余定理(CRT)

中国剩余定理，是用来求形如下面这样的同余方程组的 最小正整数解 的：

\[\left\{ \begin{array}{ll} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \cdots \\ x \equiv a_n \pmod{m_n} \\ \end{array} \right. \]

其中，\(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 两两互质。

出处

这玩意原本出自《孙子算经》卷下第二十六题：“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”

解法

我们设

\[M = \prod\limits_{i=1}^n m_i,M_i = \frac{M}{m_i} \]

然后，设 \(t_i\) 是 \(M_i\) 在模 \(m_i\) 意义下的逆元，即 \(M_i t_i \equiv 1 \pmod{m_i}\)。
对于上面的 \(i\)，\(1 \le i \le n\)。
然后，我们就可以构造出任意解

\[x_0 = \sum\limits_{i=1}^n a_i M_i t_i \]

最小正整数解就是

\[x_{min} = x_0 \bmod M \]

证明

这玩意的证明其实挺简单的……
首先，对于任意一个 \(j\)(\(1 \le j \le n\) 且 \(j \not= i\))

\[a_j M_j t_j \equiv 0 \pmod{m_i} \]

这是显然的，因为\(m_i\) 是 \(M_j\) 的因数。
然后，有

\[a_i M_i t_i \equiv a_i \pmod{m_i} \]

这也很明显……因为 \(M_i t_i \equiv 1 \pmod{m_i}\) 嘛。
于是，我们把所有的 \(a_i M_i t_i\) 加起来，也就是 \(x_0\)，再结合上面的两个结论，就可以得到

\[x_0 \equiv a_i \pmod{m_i} \]

符合题意。