Johnson全源最短路
首先考虑求全源最短路的几种方法：
- Floyd：时间复杂度\(O(n^3)\)，可以处理负权边，但不能处理负环，而且速度很慢。
- Bellman-Ford：以每个点为源点做一次Bellman-Ford，时间复杂度\(O(n^2m)\)，可以处理负权边，可以处理负环，但好像比Floyd还慢？
- dijkstra：以每个点为源点做一次dijkstra，时间复杂度\(O(nmlogm)\)，不能处理负权边，但比前面两个快多了。
好像……只有dijkstra还有希望？但负权边处理不了真是很棘手啊。
一种方法是让每条边都加上一个数\(x\)使得边权为正，但考虑下图：
\(1\)到\(2\)的最短路应为：\(1 -> 3 -> 4 -> 2\)，长度为\(-1\)。如果我们把每条边的边权都加上\(5\)：
此时的最短路是：\(1 -> 5 -> 2\)，就不是实际的最短路了，所以这种方法行不通
注：经本人研究，应该是两条路径进过的边的数量不同而导致的
接下来，就该 Johnson 登场啦！Johnson 其实就是用另一种方法标记边权啦。
首先来看看实现方法：我们新建一个虚拟结点（不妨设他的编号为0），由他向其他的所有结点都连一条边权为\(0\)的边，然后求0号节点为源点的单源最短路，存到一个\(h\)数组中。然后，让每条边的权值\(w\)变为\(w+h_u-h_v\)，这里\(u\)和\(v\)分别为这条边的起点和终点。然后再以每个点为源点做 dijkstra 就OK了。
Q：那这么说，Dijkstra 也可以求出负权图（无负环）的单源最短路径了？
A：没错。但是预处理要跑一遍 Bellman-Ford，还不如直接用 Bellman-Ford 呢。
如何证明这是正确的呢？
首先，从\(s\)到\(t\)的路径中随便取出一条：
则这条路径的长度为：
简化后得到：
可以发现，不管走哪条路径，最后都是\(+h_s-h_t\)，而\(h_s\)和\(h_t\)又是不变的，所以最终得到的最短路径还是原来的最短路径。
到这里已经证明一半了，接下来要证明得到的边权非负，必须要无负权边才能使 dijkstra 跑出来的结果正确。根据三角形不等式（就是那个三角形里任意两条边的长度之和大于等于另一条边的长度），新图上的任意一条边\((u,v)\)上的两点满足：\(h_v \le w_{u,v}+h_u\)，则新边的边权\(w_{u,v}+h_u-h_v \ge 0\)。所以新图的边权非负。
正确性证明就是这个亚子。
代码实现（注意处理精度问题，该开ll的时候开ll）：
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 5005
#define MAXM 10005
#define INF 1e9
using namespace std;
int n,m;
int vis[MAXN];
long long h[MAXN],dis[MAXN];
bool f[MAXN];
struct graph
{
int tot;
int hd[MAXN];
int nxt[MAXM],to[MAXM],dt[MAXM];
void add(int x,int y,int w)
{
tot++;
nxt[tot]=hd[x];
hd[x]=tot;
to[tot]=y;
dt[tot]=w;
return ;
}
}g;//链式前向星
bool SPFA(int s)//这里用了Bellman-Ford的队列优化
{
queue<int>q;
for(int i=1;i<=n;++i) h[i]=INF,f[i]=false;
h[s]=0;
f[s]=true;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int xx=q.front();
q.pop();
f[xx]=false;
for(int i=g.hd[xx];i;i=g.nxt[i])
if(h[g.to[i]]>h[xx]+g.dt[i])
{
h[g.to[i]]=h[xx]+g.dt[i];
if(!f[g.to[i]])
{
if(++vis[g.to[i]]>=n) return false;//注意在有重边的情况下要记录入队次数而不是松弛次数
f[g.to[i]]=true,q.push(g.to[i]);
}
}
}
return true;
}
void dijkstra(int s)
{
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q;
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF,f[i]=false;
q.push(make_pair(0,s));
dis[s]=0;
while(!q.empty())
{
int xx=q.top().second;
q.pop();
if(!f[xx])
{
f[xx]=true;
for(int i=g.hd[xx];i;i=g.nxt[i])
if(dis[g.to[i]]>dis[xx]+g.dt[i])
{
dis[g.to[i]]=dis[xx]+g.dt[i];
if(!f[g.to[i]])
q.push(make_pair(dis[g.to[i]],g.to[i]));
}
}
}
return ;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
g.add(u,v,w);
}
for(int i=1;i<=n;i++) g.add(0,i,0);//建虚拟节点0并且往其他的点都连一条边权为0的边
if(!SPFA(0))//求h的同时也判了负环
{
printf("-1");
return 0;
}
for(int u=1;u<=n;u++)
for(int i=g.hd[u];i;i=g.nxt[i])
g.dt[i]+=h[u]-h[g.to[i]];//求新边的边权
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dijkstra(i);//以每个点为源点做一遍dijkstra
long long ans=0;
for(int j=1;j<=n;j++)//记录答案
if(dis[j]==INF) ans+=1ll*j*INF;
else ans+=1ll*j*(dis[j]+(h[j]-h[i]));
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
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