矩阵快速幂

矩阵快速幂，就是矩阵乘法和快速幂的结合，所以在讲矩阵快速幂之前，先讲讲矩阵乘法和快速幂。

矩阵

矩阵的定义

什么是矩阵？由 $m \times n$ 个数 $a_{i,j}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$ 排成的一个 $m$ 行 $n$ 列的数表

$$\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}$$

被称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称 $m \times n$ 矩阵。为了表示这是个整体总是加一个括弧，并用大写字母表示他，计做：

$$A = \left[\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\right]$$

这个矩阵中的$m \times n$个数被称为矩阵$A$的元素，简称元。矩阵$A$也可被计做$A_{m \times n}$。

行矩阵（行向量）： 只有一行的矩阵。
列矩阵（列向量）： 只有一列的矩阵。
同型矩阵： 两个矩阵$A$、$B$的行数和列数都相等
单位矩阵： 在矩阵乘法中起着很大的作用，相当于乘法中的$1$，她是个方阵（即行数和列数相同的矩阵），左上角到右下角的对角线（被称为主对角线）上的元素都是$1$，除此之外都是$0$。如下就是一个$4 \times 4$的单位矩阵：

$$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]$$

矩阵加法

我们定义两个m $\times n$的矩阵$A$和$B$相加为：

$$A+B = \left[\begin{matrix} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}+b_{m,n} \end{matrix}\right]$$

注意：

• 矩阵加法满足交换律和结合律
• 只有两个同型矩阵才可以做加法

矩阵乘法

我们定义两个矩阵 $A_{m \times s}$ 和 $B_{s \times n}$ 相乘得到一个矩阵 $C_{m,n}$，并且

$$c_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j} \cdots +a_{i,s}b_{s,j}=\sum^{s}_{k=1}a_{i,k}b_{k,j}$$

并将此计做 $C=AB$。
注意： 矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。
$\tiny{\text{这里没放图是因为放了也看不懂（逃}}$
如果还不理解的话可以看这里
用代码写出来就是下面这个亚子：

struct matrix
{
	int n,m;//n是行数，m是列数
	ll e[105][105];
}a;
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=b.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			ans.e[i][j]=0;//初始化
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
		for(int j=1;j<=b.m;j++)
			for(int k=1;k<=a.m;k++)
				ans.e[i][j]=(ans.e[i][j]+(a.e[i][k]*b.e[k][j])%mod)%mod;//矩阵乘法结果可能很大，所以要取模
	return ans;
}

快速幂

一般我们求 $x^y$ 的方法是一个个乘过去，但这种方法太慢了。我们需要一种新的，快速的方法来求，而这种方法就是快速幂。这里我们举例来理解，就比如求 $3^{5}$，用 $ans$ 记录答案。$5$ 转成二进制就是 ${(101)}_2$，那么我们从右往左开始枚举，首先，有个1，那么我们就记录 $ans=ans \times 3=1 \times 3=3$，然后让 $3$ 变成自己的平方，也就是 $3^2=9$ ，然后接下来是个 $0$，那就不用乘，然后再让 $9$ 变成自己的平方 $81$，然后又是个 $1$，所以 $ans=ans \times 81=3 \times 81=243$。最后，得到 $3^5 = 243$。手算一下可以发现这是对的。当然 $x^y$ 很可能是个很大的数，所以一般都会取模。
代码实现长这个亚子：

long long power(long a,long b,long c)
{
	long long ans=1;
	while(b)//没有枚举完
	{
		if(b&1) ans=(ans*a)%c;//这一位是否是1
		a=(a*a)%c;
		b>>=1;//走到下一位
	}
	return ans%c;
}

矩阵快速幂

讲完了上面这些，那矩阵快速幂就很好理解了！就是把运算改成矩阵运算。
首先，$ans$ 和返回值都应该是一个矩阵；然后，$ans$ 应该初始化为单位矩阵，原因上面已经讲了；（1.1 矩阵的定义）再然后，里面的乘法应该改成矩阵乘法。最后提醒一句，矩阵快速幂必须是个方阵，否则要两个同型矩阵（自己乘自己，当然是同型矩阵啦~）可以实现矩阵乘法是不可能的。
代码实现：

struct matrix
{
	int n,m;
	ll e[105][105];
}a;
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=b.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			ans.e[i][j]=0;
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
		for(int j=1;j<=b.m;j++)
			for(int k=1;k<=a.m;k++)
				ans.e[i][j]=(ans.e[i][j]+(a.e[i][k]*b.e[k][j])%mod)%mod;//快速幂的取模就在这里了！
	return ans;
}//代码和上面的区别
matrix power(matrix a,ll b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=a.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			if(i==j) ans.e[i][j]=1;
			else ans.e[i][j]=0;//初始化为单元矩阵
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);//要把乘换成矩阵乘法哦！
		a=mul(a,a);//这里也一样呢
		b>>=1;
	}//快速幂板子
	return ans;
}

实际应用

先挂上神仙同学的矩阵加速友链。

矩阵快速幂可以应用到很多递推题上。
先放出一道例题：洛谷P1962 斐波那契数列

这题看到 $n < 2^{63}$ 就知道，直接递推肯定不行，我们就要用矩阵快速幂来加加速。
我们知道，这题是由初始的两个数递推得来的，那么我们有没有什么办法让他用更快的速度来递推呢？
当然是用矩阵啦~
由于递推 $F_n$ 需要用到 $F_{n-1},F_{n-2}$ 两个项，所以我们就构建有两个项的初始矩阵：

$$A=\left[\begin{matrix} F_{n-1} & F_{n-2} \end{matrix}\right]$$

然后，显而易见地，目标矩阵长这个样子：

$$B=\left[\begin{matrix} F_n & F_{n-1} \end{matrix}\right]$$

然后，就有了一个递推式子：

$$AC=B$$

但是我们不知道这个 $C$ 是什么呀。
没关系，我们来把上面的式子拆开来：

$$AC=\left[\begin{matrix} f_{n-1} \times c_{1,1}+f_{n-2} \times c_{2,1} & f_{n-1} \times c_{2,1}+f_{n-2} \times c_{2,2} \end{matrix}\right]$$

为了让结果等于 $B$，必须要让

• $f_{n-1} \times c_{1,1}+f_{n-2} \times c_{2,1} = f_{n-1}+f_{n-2}$，所以 $c_{1,1},c_{2,1}$ 都应该等于 $1$。
• $f_{n-1} \times c_{1,2}+f_{n-2} \times c_{2,2} = f_{n-1}$，所以 $c_{1,2}=1,c_{2,2}=0$。

于是就得到了

$$C=\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]$$

但是，这样不还是 $O(n)$ 递推吗？
观察一下，可以发现每次乘的是同一个矩阵，而原来的递推每次的项是不一样的。
这样有什么好处呢？我们可以先让所有的 $C$ 都乘起来，再乘 $A$ 就行了。
能这样做，还是因为矩阵乘法满足结合律。
那么要乘几个 $C$ 呢？是 $n-2$ 次。为什么呢？因为初始矩阵中已经有了两项：$F_1$ 和 $F_2$。

最终代码如下：

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll n;
struct matrix
{
	int n,m;
	ll e[105][105];
}a,b;
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=b.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			ans.e[i][j]=0;
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
		for(int j=1;j<=b.m;j++)
			for(int k=1;k<=a.m;k++)
				ans.e[i][j]=(ans.e[i][j]+(a.e[i][k]*b.e[k][j])%mod)%mod;
	return ans;
}
matrix power(matrix a,ll b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=a.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			if(i==j) ans.e[i][j]=1;
			else ans.e[i][j]=0;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	if(n<=2)
	{
		printf("1");
		return 0;
	}
	a.n=2,a.m=2;
	a.e[1][1]=a.e[1][2]=a.e[2][1]=1;
	a=power(a,n-2);
	b.n=1,b.m=2;
	b.e[1][1]=b.e[1][2]=1;
	printf("%lld",mul(b,a).e[1][1]);
	return 0;
}