线段树
众所周知，线段树这玩意又臭又长，但很容易理解。
线段树，有许多构造方法，我写的其实就是一棵完全二叉树，用堆式存储（也就是根节点的下标是1，每个下标\(=k\)父节点的左儿子就是\(k * 2\)，右儿子就是\(k * 2 + 1\)）。每个父节点的值就是她的两个子结点的值的和，叶子节点就是输入的序列，也就是我们写暴力用的那个序列。如下图：
P.S.：紫色是叶子节点，也就是初始序列。
线段树一般有5个操作：建树、单点加、单点查询、区间加、区间查询（别问我区间乘怎么搞，我还在研究QwQ）。
建树：
我们要怎么把这个线段树建立起来呢？很简单，通过上面说的，只要从结点1开始递归，递归参数包括下标、控制的区间。其中控制的区间就是你这个点她所包括的范围。那么如果这个范围是1，就表示你已经到叶子结点了，就可以输入她的值了。而父节点则只要在递归完两个子树后将两个子节点的值相加即可。为了后面处理方便，我们定义数组\(l[]\)、\(r[]\)，表示结点k所控制的范围。具体实现如下：
inline void build(int ll,int rr,int k)//参数是：当前区间左边界、右边界，当前结点编号
{
l[k]=ll,r[k]=rr;
if(ll==rr)
{
scanf("%lld",&w[k]);
return ;
}
int mid=(ll+rr)/2;
build(ll,mid,k*2);
build(mid+1,rr,k*2+1);
w[k]=w[k*2]+w[k*2+1];
return ;
}
单点加：
单点加也很简单，看懂了建树，就会发现单点加其实也差不多，就是从根节点开始，一直递归到相应的叶子结点，然后更改值，最后一路返回上来更改父节点的值。这个思路和二分查找十分向像。
inline void dadd(int k,int x,int y)//参数是：当前结点编号，要加的数的位置，要增加的值
{
if(l[k]==r[k])
{
w[k]+=y;
return ;
}
if(f[k]) down(k);
int mid=(l[k]+r[k])/2;
if(x<=mid) dadd(k*2,x,y);
else dadd(k*2+1,x,y);
w[k]=w[k*2]+w[k*2+1];
return ;
}
单点查询：
在懂了单点加后，单点查询就更简单了，也是递归，也是二分的思路，而且还不用修改值。
inline int dsum(int k,int x)//参数是：当前结点编号，要查询的位置
{
if(l[k]==r[k]) return w[k];
if(f[k]) down(k);
int mid=(l[k]+r[k])/2;
if(x<=mid) return dsum(k*2,x);
else return dsum(k*2+1,x);
}
区间查询：
诶，为什么不是区间加？因为区间加是重头戏，要放最后QwQ。区间查询和前面三个就大不相同了，但思路还是很好想的。想一下分块，处理一段区间，就是先把整的区间处理好，然后处理零碎的。线段树也一样，如果当前结点包含的范围都在查询区域内，那么就直接返回，否则，再考虑左右子节点，直到变成第一种情况。
inline int qsum(int ll,int rr,int k)//参数是：要查询的左边界、右边界，当前结点的编号
{
if(l[k]>=ll&&r[k]<=rr) return w[k];
if(f[k]) down(k);
int mid=(l[k]+r[k])/2;
int res=0;
if(ll<=mid) res+=qsum(ll,rr,k*2);
if(rr>mid) res+=qsum(ll,rr,k*2+1);
return res;
}
区间加：
相信认证观察的同学已经发现了，前面除了建树，每个函数中都会出现if(f[k]) down(k);。而这个玩意的用处，就要在区间加中体现出来。区间加，思路和区间查询还是差不多的，不过这里我们要引入一个重点：懒惰标记。懒惰标记，顾名思义，要用的时候才动她，非常懒惰。懒惰标记分两种：下传型标记和永久性标记。这里只讲下传型标记（因为永久性我不会）。当你区间加递归到一个结点k，满足k所包含的范围都在区间加的范围内，那么我们就不用再递归下去了。为什么？观察上面的代码，发现每次要访问下面的结点都要先经过上面的，那么我们在走到上面的结点时再把这些数传到下面即可，非常方便。于是，我们又要开一个数组\(f[]\)，存储懒惰标记。而下传操作的具体实现如下，具体看注释：
inline void down(int k)
{
f[k*2]+=f[k];//把懒惰标记传下去，留给子子孙孙（划掉）下面的结点。
f[k*2+1]+=f[k];//同上
w[k*2]+=f[k]*(r[k*2]-l[k*2]+1);//根据结合律，就是这个玩意把数加上了QwQ。至于为什么要*f[k]……因为子节点本身也有可能之前就有懒标记啊。
w[k*2+1]+=f[k]*(r[k*2+1]-l[k*2+1]+1);//同上
f[k]=0;//清楚懒标记。
return ;
}
那么，搞定了这个，区间加也不是什么难事了。
inline void qadd(int ll,int rr,int k,int x)//参数是：要加的区间的左边界、右边界，当前结点编号，要加的数。
{
if(l[k]>=ll&&r[k]<=rr)
{
w[k]+=(r[k]-l[k]+1)*x;
f[k]+=x;
return ;
}
if(f[k]) down(k);
int mid=(l[k]+r[k])/2;
if(ll<=mid) qadd(ll,rr,k*2,x);
if(rr>mid) qadd(ll,rr,k*2+1,x);
w[k]=w[k*2]+w[k*2+1];//别忘了更新当前结点哦！
return ;
}
总结：
如果有什么不懂的，可以尝试自己画个图模拟一下，很有用的。还有，数组要开四倍空间，至于为什么……自己画一个就知道了。
下面是总的连起来的代码。
struct tree
{
int l[400005],r[400005];
int w[400005],f[400005];
inline void build(int ll,int rr,int k)
{
l[k]=ll,r[k]=rr;
if(ll==rr)
{
scanf("%lld",&w[k]);
return ;
}
int mid=(ll+rr)/2;
build(ll,mid,k*2);
build(mid+1,rr,k*2+1);
w[k]=w[k*2]+w[k*2+1];
return ;
}
inline void down(int k)
{
f[k*2]+=f[k];
f[k*2+1]+=f[k];
w[k*2]+=f[k]*(r[k*2]-l[k*2]+1);
w[k*2+1]+=f[k]*(r[k*2+1]-l[k*2+1]+1);
f[k]=0;
return ;
}
inline void dadd(int k,int x,int y)
{
if(l[k]==r[k])
{
w[k]+=y;
return ;
}
if(f[k]) down(k);
int mid=(l[k]+r[k])/2;
if(x<=mid) dadd(k*2,x,y);
else dadd(k*2+1,x,y);
w[k]=w[k*2]+w[k*2+1];
return ;
}
inline void qadd(int ll,int rr,int k,int x)
{
if(l[k]>=ll&&r[k]<=rr)
{
w[k]+=(r[k]-l[k]+1)*x;
f[k]+=x;
return ;
}
if(f[k]) down(k);
int mid=(l[k]+r[k])/2;
if(ll<=mid) qadd(ll,rr,k*2,x);
if(rr>mid) qadd(ll,rr,k*2+1,x);
w[k]=w[k*2]+w[k*2+1];
return ;
}
inline int dsum(int k,int x)
{
if(l[k]==r[k]) return w[k];
if(f[k]) down(k);
int mid=(l[k]+r[k])/2;
if(x<=mid) return dsum(k*2,x);
else return dsum(k*2+1,x);
}
inline int qsum(int ll,int rr,int k)
{
if(l[k]>=ll&&r[k]<=rr) return w[k];
if(f[k]) down(k);
int mid=(l[k]+r[k])/2;
int res=0;
if(ll<=mid) res+=qsum(ll,rr,k*2);
if(rr>mid) res+=qsum(ll,rr,k*2+1);
return res;
}
}tr;
对了，代码里我基本没有写注释，是因为我懒如果没有注释你也看得懂的话就说明你已经学会97%了，再自己手打一遍，就可以100%理解并学会了！
