[BZOJ1101&BZOJ2301][POI2007]Zap [HAOI2011]Problem b|莫比乌斯反演

对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。

 

　　我们可以令F[n]=使得n|(x,y)的数对(x,y)个数

　　这个很容易得到，只需要让x,y中都有n这个因子就好了，也就是[a/n]*[b/n]个数对（向下取整）

　　然后设题中所要求的为f[n],很容易得知，F[n]=∑f[d](n|d)

　　莫比乌斯反演可以得到f[n]=∑μ(d/n)F[d](n|d)

　　这样是O（n），然而数据范围5*10^4显然不能通过

　　f[n]=∑μ(d/n)[a/d][b/d](n|d)

　　这个式子停止的条件是a/d=0或者b/d=0

　　令m=min(a/n,b/n)

　　f[n]=∑μ(i)[a/(i*n)][b/(i*n)](1<=i<=m)

　　然后可以通过一些方法证明[a/(i*n)] = [[a/i]/n]

　　毕竟弱.证明得这么差..

　　证明：[n/(a*b)]=[[n/a]/b]

　　设[n/a]=(n-x)/a （x<a）

　　设[[n/a]/b]=((n-x)/a-y)/b (y<b) 

　　[[n/a]/b]=(n-x-ay)/ab,设[n/(a*b)]=(n-e)/ab

　　设二者不等，即(n-x-ay)/ab+t=(n-e)/ab(t>=1)

　　x+ay=e+tab

　　x-e=a(tb-y)

　　∵a>0,b>y ∴a(tb-y)>0

　　而x是n/a的余数，e是n/ab的余数，显然e>=x,x-e<=0，矛盾

　　所以[a/(i*n)] = [[a/i]/n]

　　然后直接枚举每一个可能的[a/(i*n)][b/(i*n)]的取值就好了

　　莫比乌斯函数用前缀和累计

　　BZOJ1101交了22发...创了个人记录啊..

　　Pas错误不明..后来改用C++,是因为！i mod prime[j]这里没有加括号..用==0就不会错了...

 

　　BZOJ2301

　　容斥将一个问题拆分成四个子问题即可