[BZOJ1076][SCOI2008]奖励关解题报告|状压DP

　　你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。 宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

 

　　其实题目有个地方刚开始没看懂...

　　刚开始说了你必须在跑出下一个宝物之前做出选择，然后我以为和执行最优策略矛盾了...

　　事实上你所得到的都是期望得分

　　必须在跑出下一个宝物之前作出选择，是因为游戏的具体过程是由系统操作的我们不清楚

　　而执行最优策略只要在系统执行的一些概率条件下 作出能够得到最大期望得分的操作

　　我们考虑倒序DP

　　枚举当前是哪一轮，以及作出选择之前n个数取与不取的状态是怎样的

　　再枚举这一轮系统抛下的宝物是哪一件

　　如果满足这个宝物可以取，就在取与不取之间作取舍，如果不可以取，就只能不取

 

　　最后再思考一个问题

　　题目中有一句话“现在决定不吃的宝物以后也不能再吃”，这个限制在DP过程中并没有体现

　　另外要注意，这个条件限制存在仅当目前这个宝物可以吃，也就是我们有自主选择的权利

　　然而仔细想一想便可知是不存在问题的

　　因为当前可以吃的宝物，以后一定也可以吃，因为已经满足了前提宝物集合的条件

　　然而现在吃掉，在以后还可以吃一些前提宝物集合为当前宝物的宝物

　　所以当前吃掉一定比以后吃掉的策略要优秀

　　所以在执行最优决策的过程中是不存在现在不吃以后吃的情况的~

 

 

program bzoj1076;
const maxn = 110;maxm = 32768;
var i,k,n,x,j,p:longint;
    w:array[-1..maxn]of longint;
    a:array[-1..20,-1..20]of longint;
    vis:array[-1..20,-1..maxm]of boolean;
    f:array[-1..maxn,-1..maxm]of extended;

function ok(x,y:longint):boolean;
var i:longint;
    tmp:array[-1..20]of longint;
begin
    for i:=1 to n do tmp[i]:=y >> (n-i) and 1;
    for i:=1 to a[x,0] do if tmp[a[x,i]]=0 then exit(false);
    exit(true);
end;

function max(a,b:extended):extended;
begin
    if a>b then exit(a) else exit(b);
end;

begin
    readln(k,n);
        fillchar(a,sizeof(a),0);
    for i:=1 to n do
    begin
        read(w[i]);
        read(x);
        while x<>0 do
        begin
            inc(a[i,0]);
            a[i,a[i,0]]:=x;
            read(x);
        end;
        readln;
    end;
    for i:=1 to n do
        for j:=0 to 1 << n-1 do vis[i,j]:=ok(i,j);
    for i:=k downto 1 do //i表示当前进行到第i轮
        for j:=0 to 1 << n-1 do //n件物品取与不取的状态
        begin
            for p:=1 to n do if vis[p,j] then f[i,j]:=f[i,j]+max(f[i+1,j],f[i+1,j or (1 << (n-p))]+w[p]) else f[i,j]:=f[i,j]+f[i+1,j];
            f[i,j]:=f[i,j]/n;
        end;
    writeln(f[1,0]:0:6);
end.