1202: [HNOI2005]狡猾的商人

1202: [HNOI2005]狡猾的商人

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1202

分析

带权并查集！ 首先可以把每个月抽象一个点，那么知道了a~b,a~c月的收入，相当于知道了a->b,a->c的距离。如果再知道b~c的收入，那么就可以判断了。

对应图上，相当于找到了环，判断b->c的距离是否等于a->c的距离减去a->b的距离。 a->b->c 于是并查集的功能就是找环，其次还要维护这些的距离关系。

如何维护距离？——带权并查集。 考虑每个点x附加一个值val[x]=s[x]-s[g]，g为并查集的根，s为1~x的前缀和。

查询： 当前l（l默认已经减一）,r已经是同一个并查集了。 查询s[r]-s[l]，就是val[l]=s[l]-s[g],val[r]=s[r]-s[g]，就是val[r]-val[l]=s[r]-s[l]，s[g]约掉了。

合并： 新加入两个点l,r，长度为w,如果l,r已经是一个并查集，跳过。

否则，设u为l的根，v为r的根（下面默认让v为合并后的并查集的根），那么v的子树是不用变动的。

对于u的子树，先考虑u：当前val[u]=s[u]-s[u]=0，合并后val[u]=s[u]-s[v]。

正推：由val[l]=s[l]-s[u],得s[u]=val[l]+s[l],同理s[v]=val[r]+s[r] ，s[u]-s[v]=val[r]-val[l]+s[r]-s[l]=val[r]-val[l]+w;

逆推：val[l]=s[l]-s[u],val[r]=s[r]-s[v]，那么用后面的减前面的得： var[r]-val[l]=s[r]-s[l]+s[u]-s[v]=w+s[u]-s[v]，val[r]-val[l]-w=s[u]-s[v];

于是可以求出val[u]。 对于其他的u的子节点x，在路径压缩后，它们同样是连向v，对于x，其父节点u(并查集只有一层，即使还没有进行路径压缩，它的父节点一定是类似u的点，已更新)

val[u]=s[u]-s[v],当前val[x]=s[x]-s[u]，val[x]+val[u]=s[x]-s[u]+s[u]-s[v]=s[x]-s[v]; 

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
 
inline int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for (;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-'0';return x*f;
}
 
const int N = 1010;
int fa[N],val[N];
 
int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    int tmp = find(fa[x]);
    val[x] += val[fa[x]];
    fa[x] = tmp;
    return fa[x];
}
 
inline void work() {
    int n = read(),m = read();
    for (int i=0; i<=n; ++i) {
        fa[i] = i,val[i] = 0;
    }
    bool flag = true;
    for (int i=1; i<=m; ++i) {
        int l = read(),r = read(),w = read();
        l --;
        int u = find(l),v = find(r);
        if (u != v) {
            fa[u] = v;
            val[u] = val[r] - val[l] + w;
        }
        else if (val[l] - val[r] != w) flag = false;
    }
    puts(flag?"true":"false");
}
int main() {
    int Case = read();
    while (Case--) work();
    return 0;
}