期望的线性性
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期望的线性性又被称为期望的可加性（后者感觉更容易理解），可以简化计算的过程。
定义：
E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2)
E(αX1+βX2) = αE(X1) + βE(X2)
和的期望等于期望的和，就是可加的。
值得注意的是，X1和X2不需要相互独立，可以用于有依赖的随机变量。
还有一个期望的性质，可能也会用到：
E(X1 X2) = E(X1) E(X2)
此性质只满足当X1和X2相互独立的时候。
例题1：给出一个有6个面的骰子，掷骰子2次，球所有期望总和。
首先可以计算出所有的可能性，然后乘以它的概率。
但是一共有36种情况，然后将每种情况的和/36，就是期望了，可以算一下，答案是7。
但这样情况太多了，如果是n次的话，就是36n，现在看我们如何有期望的线性性，简化解题的过程。
设Y为投掷两次的和，X1为投掷第一次的和，X2为第二次的和。
Y = X1 + X2
E(Y) = E(X1) + E(X2)
现在知道X1和X2是两个独立的事件，而且E(X1) = E(X2)，所以考虑E(X1)如何求。
E(X1) = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 3.5 （概率 * 得到的数字）
所以E(X2) = E(X1)，E(Y) = 7;
练习1：给定一个硬币，掷硬币n次时，预期正面的次数是多少。
例题2：帽子分配问题：n个人，每个人有一顶帽子。帽子被随机重新分配，获得原来帽子的期望人数是多少？
首先可以枚举所有情况，一共n!中情况，然后分别计算出，获得原来帽子的人数，还是很麻烦。
下面看期望的线性性的做法：
设Y为n个人重新分配帽子的，获得原来帽子的人数。
设X1为第一个是否获得了原来的帽子，若是，则为1，否则为0。
那么由上面的假设，可以推出：Y=X1 + X2 + ... + Xn
E(Y) = E(X1) + E(X2) + ... E(Xn)
E(Xi) = 1 * P(Xi = 1) + 0 * P(Xi = 0) = 1 * (1/n) = 1/n
所以E(Y) = 1;
我们再看一下解题过程，我们的随机变量并不是独立的，例如：Xi没获得自己的帽子，那么，一定至少一个人也获得不了自己的帽子（X获得的帽子是谁的，X的帽子有给了谁）。但是我们依然可以使用期望的线性性来做，考虑为什么？
即使它们不是独立的，我们会多次计算一个局面（例如Xi分别为10100，1号和3号拿回了自己的帽子，我们在计算1号拿到自己帽子时算到了这个局面，计算2号没拿回自己的帽子的时候也计算了这个局面…）。虽然是一个局面计算了多次，但是这个局面的期望值我们是分开算的，当我们计算Xi时，我们只算Xi是否拿回帽子，而其他X，在计算它的时候，也会算上。
练习2：球和箱子：假设我们有m个球，标记为i = 1,2...m，n个箱，标记为j = 1,2...n。每个球独立地随机地均匀地投入其中一个箱子中。（a）每个箱子中期望的球数是多少；（b）空箱的期望数量是多少。（c）一个球的箱子期望数量是多少。
例题3：优惠券和收藏家问题：有n种类型的优惠券，每次购买可以随机获得一张优惠券。期望购买多少次可以集齐所有类型的优惠券。
结论：如果每次试验的成功概率为p，那么直到成功的预期试验次数为1 / p。
证明：
1、直接求：可能会1次抽中，2次抽中，3次抽中...分别乘以概率，即
1*p + 2 * (p-1) * p + 3 * (p-1)2 * p + ... + n * (p-1)n-1 * p
提出p，然后化简完式子等于1/p。
2、不需要线性性，一共两种状态，设X0表示没有抽到，X1表示抽到了。E(X0)，E(X1)表示从当前状态到抽到第一个的期望次数。那么有：
E(X1) = 0
E(X0) = 1 + E(X0) * (p-1) + E(X1) * p ：表示从状态0，可以再抽一次到达状态0，或者状态1。
化简完，E(X0) = 1/p
利用此结论可以简单的解决此问题。
设Y为现在有了n种类型的优惠券的购买次数。
Xi为有了i-1种优惠券（哪几种都行，要求有i-1种），然后获得下一种优惠券的购买次数。
Y = X1 + X2 + ... + Xn
E(Y) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)
E(X1) = 1，因为当前一张优惠券都没有，拿哪一张都会多一种。
E(X2)：当前有了1种，会有(n-1)/n的概率获得新的一种，1/n的概率获得相同的，所以根据上面的结论可以知道期望次数为1/((n-1)/n)，即n/(n-1)
E(X3)：同理，等于n/(n-2)
...
E(Y) = n/n + n/(n-1) + ... + n/2 + n/1 = n * H(n) （H(n)为第n个 Harmonic number）
由于logn <= H(n) <= logn + 1，所以我们大约买nlogn个。（log以e为底）。
个人总结：
期望之间存在递推关系，递推或者解方程。系数递推,高斯消元,逆推期望
期望求和，可加性。
随机变量的如何设：
期望多少个：每个单独考虑，这个是否可以贡献。
期望多少种：每种单独考虑，这种是否可以贡献。
期望多少（条件）的数量：拆条件
