2440: [中山市选2011]完全平方数

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

 

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

,    T ≤ 50

分析

莫比乌斯函数的一个应用。

首先二分答案，问题转化为求[1,x]之间有多少个无平方因子数。

根据容斥原理，答案就是

0个素数的乘积的平方的倍数的数量（1的倍数）-1个素数的乘积的平方的倍数的数量（9的倍数，25的倍数）+2个素数的乘积的平方的倍数的数量（36的倍数（2*3=6,6*6=36），100的倍数）....

发现每个乘积a前面的系数就是μ(a)

$Q(x)=\sum\limits_{i=1}^{\biggl\lfloor\sqrt{x}\biggr\rfloor}μ(i)\biggl\lfloor\frac{x}{i^2}\biggr\rfloor$

参考 popoqqq的文章

code

#include<cstdio>
#include<cmath>
  
const int N = 100000;
typedef long long LL;

int prime[N+10],mu[N+10];
bool noprime[N+10];
int tot,T;
LL k;
  
void getmu() {
    mu[1] = 1;
    for (int i=2; i<=N; ++i) {
        if (!noprime[i]) prime[++tot] = i,mu[i] = -1;
        for (int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<=N; ++j) {
            noprime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j]==0) {mu[i * prime[j]] = 0;break;}
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

bool check(int x) {
    int g = sqrt(x);LL ans = 0;
    for (int i=1; i<=g; ++i) {
        ans += mu[i] * (x/i/i);
    }
    return ans >= k;
}

int main () {
    getmu();
    scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        scanf("%lld",&k);
        LL L = 1,R = 2e9,ans;
        while (L <= R) {
            int mid = (L + R) / 2;
            if (check(mid)) R = mid-1,ans = mid;
            else L = mid + 1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}