1101: [POI2007]Zap

1101: [POI2007]Zap

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Description

　　FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a
，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

　　第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个
正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

　　对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2
//对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（
6,3），（3,3）。

题解

首先：
令 $f(n) = [(i,j)=n],F(n) = n|(i,j)$

那么 $F(n) = \sum\limits_{d|n}f(d)$

反演后得到 $f(n) = \sum\limits_{n|d}μ(\frac{d}{n})F(d)$

 

 

题目要求

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m [(i,j)=k]$

$\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor} [(i,j)=1]$

反演后得到 $f(1) =\sum\limits_{d=1}^{min(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)}μ(d)\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor$

对莫比乌斯函数维护一个前缀和。
对$\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor分块$

参考popoqqq的课件。

 

看到黄学长的另一种方法http://hzwer.com/4205.html

code

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 50000;
typedef long long LL;

int prime[N+10],mu[N+10],sum[N];
bool noprime[N+10];
int tot;

void getmu() {
    mu[1] = 1;
    for (int i=2; i<=N; ++i) {
        if (!noprime[i]) prime[++tot] = i,mu[i] = -1;
        for (int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<=N; ++j) {
            noprime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j]==0) {mu[i * prime[j]] = 0;break;}
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i=1; i<=N; ++i) sum[i] = sum[i-1] + mu[i];
}

int main () {
    getmu();
    int T,n,m,c,k,p;
    scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k) ;
        n /= k;m /= k;
        c = min(n,m);
        LL ans = 0;
        for (int d=1; d<=c; d=p+1) {
            p = min(n/(n/d),m/(m/d));
            ans += 1ll*(sum[p]-sum[d-1])*(n/d)*(m/d);
        }        
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}