Tarjan算法及其应用

Tarjan算法及其应用

引入

tarjan算法可以在图上求解LCA，强连通分量，双联通分量（点双，边双），割点，割边，等各种问题。

这里简单整理一下tarjan算法的几个应用。

LCA

http://www.cnblogs.com/mjtcn/p/6852646.html

强联通分量

有向图的

强联通：在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量 ［分量：把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量］

http://www.cnblogs.com/mjtcn/p/7599217.html

 

边双联通分量

无向图的

边双联通图：如果在一个无向图中，任意两点至少存在两条边不重复路径，则称该图为边双连通的。

边双联通分量：边双连通的极大子图称为边双连通分量。

原理和强联通分量的求法差不多。

void tarjan(int u,int fa) {
    dfn[u] = low[u] = ++tn;
    st[++top] = u;
    vis[u] = true;
    for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
        int v = e[i].to;
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else if (vis[v] && v!=fa) 
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
    }
    if (dfn[u] == low[u]) {
        ++cnt;
        do {
            vis[st[top]] = false;
            bel[st[top]] = cnt;
            top--;
        } while (st[top+1] != u);
    }
}

简单点可以这样写，low数组可以有bel数组的作用

void tarjan(int u,int fa) {
    dfn[u] = low[u] = ++tn;
    for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
        int v = e[i].to;
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) 
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
    }
}

点双联通分量

无向图的

 留坑

 

割点

图的割点

在一个无向连通图中，如果删除某个顶点后，连通分量数目增加，称这样的点为割点（或者称割顶）。

朴素的求法O(n(n+m))，尝试删除每个点，dfs判断是否联通。

tarjan算法复杂度O(n+m)，线性！！！

割点的条件：

• 根节点：它的子节点中有多个联通块。
• 非根节点：点u及其后代中没有点连向u的祖先（可以连回u）

所以只要让low[v] >= dfn[u]即可。

void tarjan(int u,int fa) {
    low[u] = dfn[u] = ++tn;
    int cnt_son = 0;
    for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
        int v = e[i].to;
        if (!dfn[v]) {
            cnt_son++;
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if (low[v] >= dfn[u]) // 第二种情况 
                iscut[u] = true;
        }
        else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) 
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
    }
    if (fa<0 && cnt_son==1) iscut[u] = false; // 第一种情况 
}

 

 

割边

无向图

在一个无向连通图中，如果删除某条边后，图不再连通，这条边就是割边(桥)。

如果u的一个子节点v，它的所有子节点及其自己都不能连回u的祖先，这里包括也不能连向u,那么u-v，就是一个割边

 代码只要改一个地方，low[v] > dfn[u]

void tarjan(int u,int fa) {
    dfn[u] = low[u] = ++tn;
    for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
        int v = e[i].to;
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if (low[v] > dfn[u]) {
                printf("%d %d\n",u,v);
            }
        }
        else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) 
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
    }
}

 

 

例题

poj 3352 Road Construction

求最少添加几条边才能使所给无向图变成边双连通图。

求出边双，缩点成一个树，之后统计树上的点度数为1的点的个数cnt，(cnt+1)/2就是答案。

定理：任意一颗无向图的树，成为双连通图，则需要增加的边数为（这棵树上所有度数为1的结点的个数+1）/2。

 

luogu P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools 

1.求最少让几个人知道就可以做到让所有的人都知道信息，最少知道的人的数目即为缩完点后入度为零的点的个数

2.最少加入几条边就可以使一个树变成一个强连通图，加的边的条数即为缩完点后 Max(入度为零的点的个数，出度为零的点的个数）

定理：任意一棵有向图的树，成为强联通分量，则需要增加的边数为max(入度为0的点的个数，出度为0的点的个数)

 

P3119 [USACO15JAN]草鉴定Grass Cownoisseur

求改变一条边的方向，有向图中包含1的强联通分量最大。

缩点所有的强联通分量，然后拓扑求最长链到1的距离，枚举改那条边

 

P2515 [HAOI2010]软件安装

tarjan缩点+树形dp