后缀自动机·小记
Suffix Automaton
简要记一下关于后缀自动机的知识。
Pre knowledge
有限状态自动机：功能是识别字符串，令一个自动机A，若它能识别字符串S，就记为A(S)=True，否则A(S)=False。
组成：alpha：字符集，state：状态集合，init：初始状态，end：结束状态集合，trans：状态转移函数。
后缀自动机：一个字符串S的后缀自动机，是一个能够识别S的所有后缀的自动机。
性质
1、对于一个子串，它在S中出现的结尾的位置是$R_1,R_2...R3$，叫Right集合。
2、后缀自动机上一个点有一个状态，每个状态是一个Right的集合，每个点还有26个转移，表示当前状态加入一个字符后到的状态。
3、如果存在一个子串A的Right集合是包含另一个子串B的Right集合，那么在A是B的后缀。
4、如果后缀自动机上一个点x的Right集合包含另一个点y的Right集合，那么parent树上，x是y的祖先。
5、parent树上每个父节点的Right集合都是所有子节点的Right集合的并集。
6、每个点对应的串是从根节点出发，到这个点的所构成的所有的串，最长的是Max，最短的是Min，这串的Right集合都是这个点的Right集合。设len[i]=Max(i)，那么Min(i)=len[fa[i]]+1
构造
增量法构造，复杂度$O(n)$
由长度为L的后缀自动机变为长度为L+1的后缀自动机，原字符串是S，加入字符c，Right集合为{L}的设为Last，新增点为NP。
1、增加一个点后，首先会让以前所有的后缀变长，会增加一个长度为1的后缀。
2、考虑trans如何变化：Last会有一个trans为c的转移，指向NP，由于Last在parent树的祖先都是P的后缀，那么这些祖先都会有trans为c的转移。
3、考虑构建新的parent有什么变化：设P为Last的祖先，并且P在加入当前点之前，就已经有trans为c的转移了。
如果这样的P不存在，那么fa[NP]=Root，即加入c后，出了NP，没有节点的状态包含S。
否则，设Q=trans[P][c]，那么Q的状态时包含S的（当然不只有S的状态）。
此时，Q代表的串中，一定有一个长度为len[P]+1的串，并且这个串是P所代表的串+x，考虑Q能否成为NP的fa。
Q所能代表的字符串可能有多个，最长的是len[Q]，如果len[Q]!=len[P]+1，说明它对应的串长度在len[P]+1的串上，还长，那么说明不包含NP的Right集合。否则说明包含。
所以若len[Q]=len[P]+1，那么fa[NP]=Q。
否则：新建一个点，让它的状态既包含Q，也包含NP。
举个例子：aabab的构造，在aaba的SAM上加入b。左图为aaba的SAM，右图为aabab的SAM。
应用
1、求本质不同的子串
每个点表示的状态都不同，每个点表示的串的长度区间为Min(s)~Max(s)，把所有点的Max(s)-Min(s)+1加起来即可。
2、求两个串的最长公共子串
对一个串建立SAM，扫一遍另一个串，并在第一个串的SAM跑，如果失配，沿着parent树跳。跳到一个点后，为了让答案尽量大，所以可以取这个点表示的最长的串，即len+1，然后继续跑。
3、求一个串的出现次数
找到表示这个串的状态，right集合的大小就是答案。如果在跑SAM中失配了，那么不存在这个串。
4、求第k大的子串
SAM是转移数组是一个DAG，其中从1到任一点的路径，包含了所有子串。倒序拓扑出每个点可以走出多少个点，然后从1走，走到一个点的时候判一下。
5、动态在末尾加入一个串，询问一个串的出现次数
动态加入末尾的串即可，lct维护parent树，维护每个点的right集合大小。
参考资料：
陈立杰后缀自动机课件
