浅谈关系矩阵
什么是关系矩阵
关系矩阵就是用矩阵来表示关系，关系矩阵中的数值一般为**0**或**1**（也就是**bool**型），当然有些关系矩阵有自己的意义，具体情况具体分析。
\[\begin{vmatrix}
1& 0& 1\\
0& 0& 1\\
1& 0& 0
\end{vmatrix}
\]
\[\begin{vmatrix}
1->1有& 1->2没& 1->3有\\
2->1没& 2->2没& 2->3有\\
3->1有& 3->2没& 3->3没\\
\end{vmatrix}
\]
- 注意：关系是有向的，也就是说1->2有关系不一定2->1也有关系。
关系矩阵和图论中的邻接矩阵本质上是一样的，所以我们也可以用图论的方式来理解关系矩阵。
关系矩阵的表示
对于元素集合 \(A={a_1,a_2,a_3,...,a_n}\) ,关系\(R\subseteq A\times A\)。
\(R\) 用关系矩阵表示为 \(M(R)=(r_{i,j})_{n\times n}\)
关系矩阵的性质
自身性质
-
自反性
关系矩阵主对角线上所有元素的值都为1。在图论中则表示每个点都存在自环。
-
反自反性
关系矩阵主对角线上所有元素的值都为0。在图论中则表示每个点都不存在自环。
-
对称性
对于 \(\forall {i,j}(i\ne j)\)，关系矩阵D中的元素 \(d_{i,j}\) 与 \(d_{j,i}\) 相等。在图论中则表示为每一条边都为双向边或自环。
-
反对称性
对于 \(\forall {i,j}(i\ne j)\)，关系矩阵D中的元素 \(d_{i,j}\) 与 \(d_{j,i}\) 不相等或全为0。在图论中则表示为任意两点之间仅有一条单向边或无边，允许存在自环。
-
非对称性
对于 \(\forall {i,j}(i\ne j)\)，关系矩阵D中的元素 \(d_{i,j}\) 与 \(d_{j,i}\) 不相等或全为0，且 \(d_{i,i}\) 等于0。在图论中则表示为任意两点之间仅有一条单向边或无边，无自环。
运算性质
-
逆运算相关性质
\(M(R^{-1})=(M(R))^T\)
关系的逆的关系矩阵等于关系矩阵的逆
-
合成运算相关性质
\(M(R_1 \circ R_2)=M(R_2)\bullet M(R_1)\)
其中 \(\bullet\) 是矩阵的逻辑乘法，运算法则与矩阵乘法类似，逻辑乘法使用 \(\wedge\) 运算，逻辑加法使用 $\vee $ 运算
食用方法及技巧
图论
逻辑矩阵在图论中的应用十分广泛，例如邻接矩阵就是一种逻辑矩阵的拓展，由于应用的实在是太广了，所以就先鸽了这部分。
反演
反演本身就是求两个函数之间的关系，很适合用关系矩阵来推导。
小试牛刀
我们最常见到的反演关系就是前缀和与差分了，设 \(F_n\) 为前缀和，\(G_n\) 为差分，则有：
\[\begin{align*}
F_n&=\sum_{i=0}^{n}G_i\\
G_n&=F_n-F_{n-1}
\end{align*}
\]
我们设 \(A\) 为关系矩阵，用于描述求和关系：
\[\begin{align*}
F_{n}&=\sum_{i=0}^{n}G_i\\
&=\sum_{i=0}^{\infty}A_{n,i}G_i\\
\\
F&=G\times A\\
G&=A^T\times F
\end{align*}
\]
设 \(B\) 为差分关系矩阵：
\[\begin{align*}
G_n&=\sum_{i=0}^{\infty}B_{n,i}F_i\\
&=F_n-F_{n-1}\\
G&=F\times B\\
F&=B^T\times G
\end{align*}
\]
- 上面写的可能有些冗长，目的是为了帮助像我一样的蒟蒻理解，大佬误喷。
那么有
\[\begin{align*}
A_{n,i}&=i\le n\\
B_{n,i}&=
\begin{cases}
& -1 \ \ &(i=n-1)\\
& 1 &(i=n)
\end{cases}
\\
\\
(A\times B)_{n,m}&=\sum_{i=0}^{\infty}A_{n,i}B_{i,m}\\
&=\sum_{i=n}^{\infty}([m=i]-[m=i-1])\\
&=[n=m]\\
&=I
\end{align*}
\]
所以 \(A\times B=I\)，\(A\)、\(B\)矩阵互逆。
由此观之，两个互为反演的关系矩阵互逆。
因此，我们就可以用关系矩阵是否互逆来证明反演。
多维反演叠加
若
\[\begin{align*}
\begin{cases}
F(n)=\sum_{i=0}A_{1}[n,i]G(i)\\
G(n)=\sum_{i=0}B_{1}[n,i]F(i)
\end{cases}\\
\begin{cases}
F(n)=\sum_{i=0}A_{2}[n,i]G(i)\\
G(n)=\sum_{i=0}B_{2}[n,i]F(i)
\end{cases}
\end{align*}
\]
则
\[\begin{align*}
\begin{cases}
F(n,m)=\sum_{i=0}\sum_{j=0}A_{1}[n,i]A_{2}[m,j]G(i,j)\\
G(n,m)=\sum_{i=0}\sum_{j=0}B_{1}[n,i]B_{2}[m,j]F(i,j)
\end{cases}
\end{align*}
\]
换而言之，反演系数等于每个维度反演系数之积。
证明：
设
\[\begin{align*}
A[(n_1,n_2)(i_1,i_2)]&=A_1[n_1,i_1]A_2[n_2,i_2]\\
B[(n_1,n_2)(i_1,i_2)]&=B_1[n_1,i_1]B_2[n_2,i_2]
\end{align*}
\]
则
\[\begin{align*}
&(A*B)[(n_1,n_2),(m_1,m_2)]\\
=&\sum_{i_1=0}\sum_{i_2=0}A_1[n_1,i_1]A_2[n_2,i_2]B_1[i_1,m_1]B_2[i_2,m_2]\\
=&\sum_{i_1=0}\sum_{i_2=0}A_1[n_1,i_1]B_1[i_1,m_1]A_2[n_2,i_2]B_2[i_2,m_2]\\
=&\sum_{i_1=0}A_1[n_1,i_1]B_1[i_1,m_1]\sum_{i_2=0}A_2[n_2,i_2]B_2[i_2,m_2]\\
=&[n_1=m_1][n_2=m_2]\\
=&[(n_1,n_2)=(m_1,m_2)]
\end{align*}
\]
