子集容斥与二项式反演
子集容斥与二项式反演学习笔记
子集容斥
公式：
\[\begin{align*}
g(S)&=\sum\limits_{T\subseteq S}f(T)\\
f(S)&=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{\left|S\right|-\left|T\right|}g(T)
\end{align*}
\]
证明：
\[\begin{align*}
&\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{\left|S\right|-\left|T\right|}g(T)\\
=&\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{\left|S\right|-\left|T\right|}\sum\limits_{R\subseteq T}f(R)\\
=&\sum\limits_{R\subseteq T}f(R)\sum\limits_{R\subseteq T\subseteq S}(-1)^{\left|S\right|-\left|T\right|}
\end{align*}
\]
若 \(R=S\)，则 \(\sum\limits_{R\subseteq T\subseteq S}(-1)^{\left|S\right|-\left|T\right|}=1\)。
二项式反演
公式：
\[\begin{align*}
g_{i}&=\sum_{k\ge i}\dbinom{k}{i}f_k\\
f_{i}&=\sum_{k\ge i}\dbinom{k}{i}(-1)^{k-i}g_k
\end{align*}
\]
证明：
\[\begin{align*}
&\sum_{k\ge i}\dbinom{k}{i}(-1)^{k-i}g_k\\
=&\sum_{k\ge i}\dbinom{k}{i}(-1)^{k-i}\sum_{j\ge k}\dbinom{j}{k}f_j\\
=&\sum_{j\ge i}f_j\sum_{i\le k \le j}\dbinom{k}{i}\dbinom{j}{k}(-1)^{k-i}\\
=&\sum_{j\ge i}f_j\sum_{i \le k \le j}\frac{k!}{i!(k-i)!}\frac{j!}{k!(j-k)!}(-1)^{k-i}\\
=&\sum_{j\ge i}f_j\frac{j!}{i!}\sum_{i \le k \le j}\frac{1}{(k-i)!(j-k)!}(-1)^{k-i}\\
=&\sum_{j\ge i}f_j\frac{j!}{i!(j-i)!}(1-1)^{k-i}\\
=&f_j
\end{align*}
\]
同理：
\[\begin{align*}
g_i&=\sum_{k\le i}\dbinom{i}{k}f_k\\
f_i&=\sum_{k\le i}\dbinom{i}{k}(-1)^{i-k}g_k
\end{align*}
\]
例题：
黑暗前的幻想乡
题目大意：
给定一个无向图和每个公司能造的边，要求统计每个公司恰好建造一条边的生成树数量。
前置知识：
思路
在没有公司限制的情况下，我们只需要跑一边生成树计数即可（挖个坑）。在加上限制条件之后，我们可以考虑将参加建造的公司看成一个子集 \(s\)，求出每个子集对应的生成树数量 \(f_s\) ，最后子集容斥即可。
