组合数学学习笔记

组合数学学习笔记

组合数学常用公式

基本公式

1. 排列：

\[ A_{n}^r=\frac{n!}{(n-r)!} \]

2. 组合：

\[ C_{n}^r=\frac{n!}{r!(n-r)!} \\ \dbinom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!} \]

3. 二项式定理：

\[ n\in \mathbb{N},(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^ky^{n-k} \]

4. 广义二项式定理：

若

\[ \left | x \right |<1,\alpha\in\mathbb{R} \]

则

\[ (1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^{\infty}\dbinom{\alpha}{k}x^k \]

这里 $ \dbinom{\alpha}{k}:= \frac{\alpha^{\underline{k}}}{k!}$ 。当 \(\left | x \right |\ge 1\) 时，右侧幂级数不一定收敛。

组合公式

1. 杨辉恒等式：

\[ \dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{m}+\dbinom{n-1}{m-1} \]

2. 等效代换：

\[ \dbinom{n}{m}=\dbinom{n}{n-m} \]

3. 连续应用1：

\[ \dbinom{n+r+1}{r}=\sum_{i=0}^{r}\dbinom{n+i}{i} \]

4. 组合意义：

\[ \dbinom{n}{m}\dbinom{m}{r}=\dbinom{n}{r}\dbinom{n-r}{m-r} \]

5. 4中 \(r=1\) 时的特例：

\[ \dbinom{n}{m}\dbinom{m}{1}=\dbinom{n}{1}\dbinom{n-1}{m-1}\\ m\dbinom{n}{m}=n\dbinom{n-1}{m-1} \]

6. 组合意义：

\[ \dbinom{n+m}{r}=\sum_{i=0}^{r}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{r-i} \]

7. 性质5与二项式定理：

\[ \sum_{i=0}^{n}i\dbinom{n}{i}=n2^{n-1} \]

常用数及其推论

第一类斯特林数

排成 \(k\) 个圆排列也就是 \(1\sim n\) 排列的个数，满足 \(i\) 向 \(p_i\) 连边后，形成 \(k\) 个环的图。我们用 \(\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}\) 来表示 \(n\) 个节点，\(m\) 个环的斯特林数。

考虑递推意义，有一下两种情况：

1. 新加入的点自己成为一个新环，方案数为 \(\begin{bmatrix}n-1 \\ m-1 \end{bmatrix}\)。

2. 新加入的点加在了任意一个原有的环中的任意一个点的后续，方案数为 \((n-1)\begin{bmatrix}n-1 \\ m \end{bmatrix}\)。

总递推式为 \(\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1 \\ m-1 \end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1 \\ m \end{bmatrix}\)。

第二类斯特林数

将 \(n\) 个元素划分到 \(m\) 个集合的方案数，集合不能为空。我们用 \(\begin{Bmatrix}n \\ m\end{Bmatrix}\) 来表示 \(n\) 个元素，\(m\) 个集合的斯特林数。

依旧是考虑递推意义，有两种情况：

1. 和第一类斯特林数一样，新加入的元素自己成为一个新集合，方案数为 \(\begin{Bmatrix}n-1 \\ m-1 \end{Bmatrix}\)。

2. 新元素加入任意一个已有集合，方案数为 \(m\begin{Bmatrix}n-1\\ m\end{Bmatrix}\)

总递推式为 \(\begin{Bmatrix}n \\ m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1 \\ m-1 \end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1 \\ m \end{Bmatrix}\)。

卡特兰数

卡特兰数是以下四类问题的通解：

1. \(n\) 个数 \(1,2,3,\dots ,n\) 依次进栈，问有多少种不同的出栈序列。

2. 求长为 \(2n\) 的合法括号序列的数量。

3. 求 \(2n+1\) 个点，每个非叶子节点都恰好有两个儿子的有根、无标号、区分左右儿
   子的二叉树个数。

4. 给定 \((n+1)^2\) 的网格图，问有多少种 \((1,1)\) 到 \((n+1,n+1)\) 的路径使
   得其不越过对角线。

问题转化：

1. 入栈为 \(+1\)，出栈为 \(-1\)，过程中序列操作值保证大于等于 \(0\)。

2. 左括号 \(+1\)，右括号 \(-1\)，同问题 1。

3. 在 dfs 整棵树时，左儿子为左括号，右儿子为右括号，转化为问题2。

4. 向右走为左括号，向上走为右括号，转化为问题 2。

这个问题的答案称作卡特兰（Catalan）数 \(C_n\)。

我们通过问题4来求出卡特兰数的表达式：

若没有对角线的限制，方案数为 \(\dbinom{2n}{n}\)。

若接触了次对角线 \(y=x+1\)，则从其第一次接触的位置起关于这条对角线对称，终点变为 \((n-1,n+1)\)，不合法路径与 \((1,1)\) 到 \((n-1,n+1)\) 的路径一一对应，所以 \(C_n=\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}=\frac{\dbinom{2n}{n}}{n+1}\)。