计算任意多边形的面积(已知各顶点的坐标)

计算几何中计算三角形面积

在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。

 

所以得到三角形面积

 

 

特别注意：
          以上得到是有向面积（有正负）！
 
凸多边形的三角形剖分
 
很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性，保证这些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形的有向面积：A=sigma(Ai)  (i=1…N-2)

 

 
 
凹多边形的面积
 

 

多边形面积公式：A=sigma(Ai)  (i=1…N-2)
结论：
       “有向面积”A比“面积”S其实更本质！
 
 
任意点为扇心的三角形剖分：
我们能把多边形分成N-2个三角形，为什么不能分成N个三角形呢？
比如，以多边形内部的一个点为扇心，就可以把多边形剖分成 N个三角形。

 

前面的三角剖分显然对于多边形内部任意一点都是合适的！
 

能否把扇心移到多边形以外呢？
 

 
既然内外都可以，为什么不设P0为坐标原点呢？

 

 

最终简化公式（包括凹多边形）：
 
 

 

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作者：相思明月楼
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/Adusts/article/details/80546770
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