Bellman-Ford算法之一

//Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，
//若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，
//Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题
//负权回路，即权值之和小于0 的环路
//图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

//Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
//第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，
//将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
//第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
//第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
///d（v） > d (u) + w(u,v),  u指向v
//则返回false，表示途中存在从源点可达的负权回路。

//Bellman-Ford算法
//http://www.cppblog.com/tanky-woo/archive/2011/01/19/138688.html

　　

#include <iostream>            //单源顶点最短路径 Bellman-Ford算法，源点唯一
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 99999;

// 边，
typedef struct Edge{
    int u, v;    // 起点，重点
    int weight;  // 边的权值
}Edge;

Edge edge[maxnum];     // 保存边的值
int  dist[maxnum];     // 结点到源点最小距离

int nodenum, edgenum, source;    // 结点数，边数，源点

// 初始化图
void init()
{
    // 输入结点数，边数，源点
    cin >> nodenum >> edgenum >> source;
    for(int i=1; i<=nodenum; ++i)
        dist[i] = maxint;
    dist[source] = 0;
    for(int i=1; i<=edgenum; ++i)
    {
        cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].weight;
        if(edge[i].u == source)          //注意这里设置初始情况
            dist[edge[i].v] = edge[i].weight;
    }
}

// 松弛计算
bool relax(int u, int v, int weight)
{
    if(dist[v] > dist[u] + weight)
    {
        dist[v] = dist[u] + weight;
        return 1;
    }
    return 0;
}

bool Bellman_Ford()
{
    for(int i=1; i<=nodenum-1; ++i)
    {
        int tag=1;
        for(int j=1; j<=edgenum; ++j)
            if(relax(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].weight))
                tag=0;
        if(tag==1)
            break;
    }

    // 判断是否有负权回路
    for(int i=1; i<=edgenum; ++i)
        if(dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].weight)
            return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    init();
    if(Bellman_Ford())
        for(int i = 1 ;i <= nodenum; i++)
            cout << dist[i] << endl;
    return 0;
}

　　

//负权回路：
//比如有3个点A，B，C，B-A<=5,C-B<=3,A-C<=-10,
//化成一个三角形ABC,AB边(由A指向B）长为5，BC边(由B指向C)长为3,CA边(由C指向A)长为-10
//对dist值(源点到该点的最短路径)初始化,dist(a)=0,dist(b)=m(表示无穷),dist(c)=m
//第一遍松弛后，为dist(a)=-2,dist(b)=5,dist(c)=8,
//第二遍松弛后，为dist(a)=-4,dist(b)=3,dist(c)=6,
//第二遍松弛后，为dist(a)=-6,dist(b)=1,dist(c)=4,
//........
//可见正是因为存在负权回路，导致每次遍历后，各个点的dist值不断变小。
//所以在循环v-1次后，即松弛操作完成后，检测图中是否存在负环路
//一定存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，所以无法收敛而不能求出最短路径来。
//即不存在点a,b,c,满足B-A<=5,C-B<=3,A-C<=-10,
//
//
//如果初始A-C<=-7，则CA边（由C指向A）长为-7,即B-A<=5,C-B<=3,A-C<=-7,
//第一遍松弛后，为dist(a)=1,dist(b)=5,dist(c)=8,之后第二遍松弛，没有对dist进行更新，所以跳出循环。
//之后检测图中是否存在负环路，不存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],故存在最短路径，
//即A=1,B=5,C=8 就是答案之一
//
//
//
//数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；
//
//以下操作循环执行至多v-1次，v为顶点数：
//对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则令Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。
//w(u, v)为边e(u,v)的权值；
//若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。
//否则执行下次循环；
//为了检测图中是否存在负环路，对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，
//则图中存在负环路，即是说该图无法求出单源最短路径。
//否则数组Distant[v]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。